Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
;
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos dá: calcular a integral
usando a substituição indicada
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A substituição sugerida é
. - A função sob a raiz é
. - Devemos devolver a primitiva (integral indefinida), incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Aplicando a substituição indicada:
.
Agora calculo a diferencial
. Como
, derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
em função de
temos
Passo 3
Reescrevo a expressão dentro da raiz usando
. Substituo
por
:
Portanto a raiz fica
.
Passo 4
Substituo
e a raiz na integral original e fatoro constantes quando possível:
Passo 5
Lembrete / mini-aula: integral padrão
onde
. Explicação rápida de por que isso vale: faça
, então
e
Aqui
porque
.
Passo 6
Aplico a fórmula padrão ao integral que ficou em
:
Passo 7
Volto à variável original
usando
. Substituindo:
Posso fazer uma verificação rápida derivando: a derivada de
é
, e multiplicando por
volta a integrando original
.