Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas.
a) \int 2 x\left(x^{2}+1\right)^{23} d x ; \quad u=x^{2}+1
b) \int \cos ^{3} x \cdot \operatorname{sen} x d x ; \quad u=\cos x
c) \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \operatorname{sen} \sqrt{x} d x ; \quad u=\sqrt{x}
d) \int \frac{3 x d x}{\sqrt{4 x^{2}+5}} ; \quad u=4 x^{2}+5
e) \int \frac{x^{2}}{x^{3}-4} d x ; \quad u=x^{3}-4
f) \int \operatorname{sec} ^{2}(4 x+1) d x ; \quad u=4 x+1
g) \int y \sqrt{1+2 y^{2}} d y ; \quad u=1+2 y^{2}
h) \int(2 x+7)\left(x^{2}+7 x+3\right)^{\frac{4}{5}} d x ; \quad u=x^{2}+7 x+3
i) \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x ; \quad u=e^{x}+1
j) \int(1+\operatorname{sen} t)^{9} \cos t d t ; \quad u=1+\operatorname{sen} t
k) \int \frac{d x}{x \cdot \ln x} ; \quad u=\ln x
l) \int e^{2 t} \cdot \sqrt{1+e^{2 t}} d t ; 1+e^{2 t}
m) \int e^{-5 x} d x ; \quad u=-5 x
Passo 1
O enunciado pede que calculemos várias integrais indefinidas usando a técnica de substituição. A ideia geral é escolher uma nova variável u de modo que a integral em x se transforme em uma integral mais simples em u, aplicar
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,
integrar em u e depois voltar à variável x.
Passo 2
Para \displaystyle \int 2x\,(x^{2}+1)^{23}\,dx
faça u = x^{2}+1, então \,du = 2x\,dx. A integral fica
\int u^{23}\,du
cuja primitiva é
\frac{u^{24}}{24}+C.
Voltando a x:
\frac{(x^{2}+1)^{24}}{24}+C.
Passo 3
Para \displaystyle \int \cos^{3}x\;\sin x\,dx
use u = \cos x, então \,du = -\sin x\,dx ou \sin x\,dx = -du. A integral vira
-\int u^{3}\,du
com primitiva
-\frac{u^{4}}{4}+C.
Em x:
-\frac{\cos^{4}x}{4}+C.
Passo 4
Para \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}\;\sin\sqrt{x}\,dx
faça u = \sqrt{x}, logo \,du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx ou dx = 2\sqrt{x}\,du = 2u\,du. A integral é