Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas.
a) \int 2 x\left(x^{2}+1\right)^{23} d x ; \quad u=x^{2}+1
b) \int \cos ^{3} x \cdot \operatorname{sen} x d x ; \quad u=\cos x
c) \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \operatorname{sen} \sqrt{x} d x ; \quad u=\sqrt{x}
d) \int \frac{3 x d x}{\sqrt{4 x^{2}+5}} ; \quad u=4 x^{2}+5
e) \int \frac{x^{2}}{x^{3}-4} d x ; \quad u=x^{3}-4
f) \int \operatorname{sec} ^{2}(4 x+1) d x ; \quad u=4 x+1
g) \int y \sqrt{1+2 y^{2}} d y ; \quad u=1+2 y^{2}
h) \int(2 x+7)\left(x^{2}+7 x+3\right)^{\frac{4}{5}} d x ; \quad u=x^{2}+7 x+3
i) \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x ; \quad u=e^{x}+1
j) \int(1+\operatorname{sen} t)^{9} \cos t d t ; \quad u=1+\operatorname{sen} t
k) \int \frac{d x}{x \cdot \ln x} ; \quad u=\ln x
l) \int e^{2 t} \cdot \sqrt{1+e^{2 t}} d t ; 1+e^{2 t}
m) \int e^{-5 x} d x ; \quad u=-5 x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos várias integrais indefinidas usando a técnica de substituição. A ideia geral é escolher uma nova variável u de modo que a integral em x se transforme em uma integral mais simples em u, aplicar
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du,
integrar em u e depois voltar à variável x.

Passo 2

Para
\displaystyle \int 2x\,(x^{2}+1)^{23}\,dx
faça u = x^{2}+1, então
\,du = 2x\,dx. A integral fica
\int u^{23}\,du
cuja primitiva é
\frac{u^{24}}{24}+C.
Voltando a x:
\frac{(x^{2}+1)^{24}}{24}+C.

Passo 3

Para
\displaystyle \int \cos^{3}x\;\sin x\,dx
use u = \cos x, então
\,du = -\sin x\,dx ou \sin x\,dx = -du. A integral vira
-\int u^{3}\,du
com primitiva
-\frac{u^{4}}{4}+C.
Em x:
-\frac{\cos^{4}x}{4}+C.

Passo 4

Para
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x}}\;\sin\sqrt{x}\,dx
faça u = \sqrt{x}, logo
\,du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx ou dx = 2\sqrt{x}\,du = 2u\,du. A integral é
\int \frac{1}{u}\,\sin u\,(2u\,du) = 2\int \sin u\,du
cuja primitiva é
-2\cos u + C.
Em x:
-2\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)+C.

Passo 5

Para
\displaystyle \int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx
use u = 4x^{2}+5, daí
\,du = 8x\,dx ou 3x\,dx = \frac{3}{8}\,du. A integral torna-se
\frac{3}{8}\int u^{-\tfrac12}\,du
com primitiva
\frac{3}{8}\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12}+C = \frac{3}{4}\sqrt{u}+C.
Em x:
\frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5}+C.

Passo 6

Para
\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\,x^{3}-4\,}\,dx
faça u = x^{3}-4, então
\,du = 3x^{2}\,dx ou x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du. A integral fica
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du
cuja primitiva é
\frac{1}{3}\ln\bigl|u\bigr|+C.
Em x:
\frac{1}{3}\ln\!\bigl|x^{3}-4\bigr|+C.

Passo 7

Para
\displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}(4x+1)\,dx
use u = 4x+1, então
\,du = 4\,dx ou dx = \tfrac{1}{4}du. A integral vira
\frac{1}{4}\int \operatorname{sec}^{2}u\,du
com primitiva
\frac{1}{4}\tan u + C.
Em x:
\frac{1}{4}\tan(4x+1)+C.

Passo 8

Para
\displaystyle \int y\,\sqrt{1+2y^{2}}\,dy
faça u = 1+2y^{2}, daí
\,du = 4y\,dy ou y\,dy = \tfrac{1}{4}du. A integral torna-se
\frac{1}{4}\int u^{\tfrac12}\,du
cuja primitiva é
\frac{1}{4}\cdot\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}+C = \frac{1}{6}u^{\tfrac32}+C.
Em y:
\frac{1}{6}\bigl(1+2y^{2}\bigr)^{\tfrac32}+C.

Passo 9

Para
\displaystyle \int (2x+7)\,\bigl(x^{2}+7x+3\bigr)^{\tfrac{4}{5}}\,dx
use u = x^{2}+7x+3, então
\,du = (2x+7)\,dx. A integral é
\int u^{\tfrac{4}{5}}\,du
cuja primitiva é
\frac{u^{\tfrac{9}{5}}}{\tfrac{9}{5}}+C = \frac{5}{9}u^{\tfrac{9}{5}}+C.
Em x:
\frac{5}{9}\bigl(x^{2}+7x+3\bigr)^{\tfrac{9}{5}}+C.

Passo 10

Para
\displaystyle \int \frac{e^{x}}{e^{x}+1}\,dx
faça u = e^{x}+1, daí
\,du = e^{x}\,dx. A integral vira
\int \frac{1}{u}\,du
com primitiva
\ln\bigl|u\bigr|+C.
Em x:
\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+C.

Passo 11

Para
\displaystyle \int (1+\sin t)^{9}\,\cos t\,dt
use u = 1+\sin t, então
\,du = \cos t\,dt. A integral torna-se
\int u^{9}\,du
cuja primitiva é
\frac{u^{10}}{10}+C.
Em t:
\frac{(1+\sin t)^{10}}{10}+C.

Passo 12

Para
\displaystyle \int \frac{dx}{\,x\,\ln x\,}
faça u = \ln x, daí
\,du = \frac{1}{x}\,dx. A integral é
\int \frac{1}{u}\,du
com primitiva
\ln\bigl|u\bigr|+C.
Em x:
\ln\!\bigl|\ln x\bigr|+C.

Passo 13

Para
\displaystyle \int e^{2t}\,\sqrt{1+e^{2t}}\,dt
use u = 1+e^{2t}, então
\,du = 2e^{2t}\,dt ou e^{2t}\,dt = \tfrac12\,du. A integral fica
\frac{1}{2}\int u^{\tfrac12}\,du
cuja primitiva é
\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}+C = \frac{1}{3}u^{\tfrac32}+C.
Em t:
\frac{1}{3}\bigl(1+e^{2t}\bigr)^{\tfrac32}+C.

Passo 14

Para
\displaystyle \int e^{-5x}\,dx
use u = -5x, daí
\,du = -5\,dx ou dx = -\tfrac{1}{5}\,du. A integral torna-se
-\frac{1}{5}\int e^{u}\,du
com primitiva
-\frac{1}{5}e^{u}+C.
Em x:
-\frac{1}{5}e^{-5x}+C.

Resposta

a) \displaystyle \frac{(x^{2}+1)^{24}}{24}+C
b) \displaystyle -\frac{\cos^{4}x}{4}+C
c) \displaystyle -2\cos\bigl(\sqrt{x}\bigr)+C
d) \displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{4x^{2}+5}+C
e) \displaystyle \frac{1}{3}\ln\!\bigl|x^{3}-4\bigr|+C
f) \displaystyle \frac{1}{4}\tan(4x+1)+C
g) \displaystyle \frac{1}{6}\bigl(1+2y^{2}\bigr)^{\tfrac32}+C
h) \displaystyle \frac{5}{9}\bigl(x^{2}+7x+3\bigr)^{\tfrac{9}{5}}+C
i) \displaystyle \ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+C
j) \displaystyle \frac{(1+\sin t)^{10}}{10}+C
k) \displaystyle \ln\!\bigl|\ln x\bigr|+C
l) \displaystyle \frac{1}{3}\bigl(1+e^{2t}\bigr)^{\tfrac32}+C
m) \displaystyle -\frac{1}{5}e^{-5x}+C

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