Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}-1\right)^{5 / 2}}, x>1

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x^{2}\,dx}{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{5/2}},
para x>1. Vamos usar substituição trigonométrica, identificando \sqrt{x^{2}-1}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
x = \operatorname{sec}\theta,\quad \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr),
então
dx = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad x^{2}-1 = \tan^{2}\theta.
O numerador vira x^{2}dx = \operatorname{sec}^{2}\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta=\operatorname{sec}^{3}\theta\,\tan\theta\,d\theta e o denominador
(x^{2}-1)^{5/2}=(\tan^{2}\theta)^{5/2}=\tan^{5}\theta. Logo
\int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}-1)^{5/2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{3}\theta\,\tan\theta}{\tan^{5}\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan^{4}\theta}\,d\theta.

Passo 3

Escrevendo em funções de \sin e \cos:
\frac{\operatorname{sec}^{3}\theta}{\tan^{4}\theta} = \frac{1/\cos^{3}\theta}{(\sin^{4}\theta/\cos^{4}\theta)} = \frac{\cos\theta}{\sin^{4}\theta} =\cos\theta\,\sin^{-4}\theta.
Fazendo u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, a integral fica
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3}+C = -\frac{1}{3\,u^{3}}+C = -\frac{1}{3\,\sin^{3}\theta}+C.

Passo 4

Volta à variável x. De x=\operatorname{sec}\theta segue
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} = \sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Logo
\sin^{3}\theta = \frac{(\sqrt{x^{2}-1})^{3}}{x^{3}} = \frac{(x^{2}-1)^{3/2}}{x^{3}},
e a primitiva torna-se
-\frac{1}{3\,\sin^{3}\theta} = -\frac{1}{3}\,\frac{x^{3}}{(x^{2}-1)^{3/2}} = -\frac{x^{3}}{3\,(x^{2}-1)^{3/2}}+C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x^{2}\,dx}{(x^{2}-1)^{5/2}} = -\frac{x^{3}}{3\,(x^{2}-1)^{3/2}}+C. }

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