Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
a) \int e^{2 x} d x
b) \int x \cdot\left(2-x^{2}\right)^{3} d x
c) \int \cos 8 x d x
d) \int \frac{d x}{2 x}
e) \int(3 x-1)^{5} d x
f) \int \operatorname{sen} 3 x d x
g) \int \operatorname{sec} 4 x \cdot \operatorname{tg} 4 x d x
h) \int \operatorname{sec} ^{2} 5 x d x
i) \int t \cdot \sqrt{7 t^{2}+12} d t
j) \int \frac{x}{\sqrt{4-5 x^{2}}} d x
k) \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} d x
m) \int \frac{x}{\left(4 x^{2}+1\right)^{3}} d x
n) \int x \cdot \cos \left(3 x^{2}\right) d x
o) \int e^{\operatorname{sen} x} \cdot \cos x d x
p) \int x^{3} \cdot e^{x^{4}} d x
q) \int x^{2} \cdot e^{-2 x^{3}} d x
r) \int \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} d x
s) \int \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{5}{x}\right)}{x^{2}} d x
t) \int \frac{d x}{e^{x}}
u) \int \frac{e^{\sqrt{y}}}{\sqrt{y}} d y
v) \int \operatorname{sen}{ }^{5} 3 t \cdot \cos 3 t d t
\int \frac{1}{(1-3 x)^{2}} d x
w) \int \sqrt{e^{y}} d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais indefinidas usando a técnica de substituição. A ideia geral é identificar uma parte da função cujo diferencial aparece (ou é múltiplo) no integrando, fazer u=g(x), obter du=g'(x)\,dx e reescrever a integral em termos de u. Em seguida, integra-se em u e volta-se a variável original.
Passo 2
Para \int e^{2x}dx faça u=2x, daí du=2\,dx e dx=\tfrac{du}{2}.
\int e^{2x}dx = \int e^{u}\frac{du}{2} = \tfrac12 e^{u} + C = \tfrac12 e^{2x} + C.
Passo 3
Para \int x\,(2-x^{2})^{3}dx use u=2-x^{2}, então du=-2x\,dx e x\,dx=-\tfrac{du}{2}.