Calcule as integrais por substituição trigonométrica:
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}.
Informações dadas: a integral é em x e o integrando é \left(x^{2}+1\right)^{-3/2}. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cujo derivada é o integrando), mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que torne a raiz quadrada simples. Observação útil: \left(x^{2}+1\right) lembra a identidade trigonométrica 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta. Portanto uma substituição natural é
x=\tan\theta.
Agora calculamos a diferencial e a expressão para x^{2}+1:
dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad x^{2}+1=\tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Comentário sobre domínio: ao usar x=\tan\theta tomamos \theta\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), onde \cos\theta>0 e portanto \operatorname{sec}\theta>0. Isso evita problemas com valores absolutos ao elevar \operatorname{sec}\theta a potências racionais.

Passo 3

Substituímos na integral todas as ocorrências de x e dx por expressões em \theta:
\int \frac{dx}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}} = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\left(\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2}}.
Agora simplificamos a potência. Usando \left(\operatorname{sec}^{2}\theta\right)^{3/2}=\operatorname{sec}^{3}\theta (válido porque \operatorname{sec}\theta>0 no intervalo escolhido), obtemos
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\operatorname{sec}^{3}\theta} = \int \frac{1}{\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \int \cos\theta\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \theta. Lembrando a primitiva básica:
\int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora voltamos para a variável x. Temos x=\tan\theta. Para expressar \sin\theta em termos de x, fazemos um triângulo retângulo com \tan\theta=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}=\dfrac{x}{1}. Assim a hipotenusa vale \sqrt{1+x^{2}}. Portanto
\sin\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Assim a primitiva em x é dada por \sin\theta+C, que em termos de x fica \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+C.

Passo 6

Checagem rápida (opcional): derivando \dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} obtém-se
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right) =\frac{(1+x^{2})^{1/2}-x\cdot\frac{1}{2}(1+x^{2})^{-1/2}\cdot 2x}{1+x^{2}} =\frac{1}{(1+x^{2})^{3/2}},
o que confirma que a primitiva encontrada está correta. Força aí — você já tem a técnica na mão para outras integrais com \sqrt{x^{2}+a^{2}}!

Resposta

\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}+C

Exercícios relacionados