Calcule as integrais por substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integral é em
e o integrando é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cujo derivada é o integrando), mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos escolher uma substituição que torne a raiz quadrada simples. Observação útil:
lembra a identidade trigonométrica
. Portanto uma substituição natural é
Agora calculamos a diferencial e a expressão para
:
Comentário sobre domínio: ao usar
tomamos
, onde
e portanto
. Isso evita problemas com valores absolutos ao elevar
a potências racionais.
Passo 3
Substituímos na integral todas as ocorrências de
e
por expressões em
:
Agora simplificamos a potência. Usando
(válido porque
no intervalo escolhido), obtemos
Passo 4
Integramos em
. Lembrando a primitiva básica:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora voltamos para a variável
. Temos
. Para expressar
em termos de
, fazemos um triângulo retângulo com
. Assim a hipotenusa vale
. Portanto
Assim a primitiva em
é dada por
, que em termos de
fica
.
Passo 6
Checagem rápida (opcional): derivando
obtém-se
o que confirma que a primitiva encontrada está correta. Força aí — você já tem a técnica na mão para outras integrais com
!