Calcule as integrais por substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas:
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia: é muito útil transformar o produto de seno e cosseno em soma de senos (produto-para-soma). Vou explicar e usar a identidade
Derivação rápida dessa identidade (para entender de onde vem):
Somando as duas equações obtemos
logo
Essa identidade nos permite integrar mais facilmente, porque integrar soma de senos é direto.
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando com
e
:
Então a integral vira
Passo 4
Passo a integrar termo a termo. Lembrete: para integrar
usa-se a substituição
, daí
e
Aplicando isso aos dois termos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora juntar tudo, lembrando do fator
:
Simplificando os coeficientes:
Portanto a primitiva é
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a resposta obtida deve-se retornar ao integrando.
confirmando que a primitiva está correta.