Calcule as integrais por substituição trigonométrica:
\int \operatorname{sen}(7 x) \cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}(7x)\cos(5x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de duas funções trigonométricas: \operatorname{sen}(7x) e \cos(5x).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia: é muito útil transformar o produto de seno e cosseno em soma de senos (produto-para-soma). Vou explicar e usar a identidade
\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Derivação rápida dessa identidade (para entender de onde vem):
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B,
\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.
Somando as duas equações obtemos
\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B,
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\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Essa identidade nos permite integrar mais facilmente, porque integrar soma de senos é direto.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando com A=7x e B=5x:
\sin(7x)\cos(5x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(7x+5x)+\sin(7x-5x)\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(12x)+\sin(2x)\bigr).
Então a integral vira
\int \sin(7x)\cos(5x)\,dx =\int \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(12x)+\sin(2x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Passo a integrar termo a termo. Lembrete: para integrar \sin(kx) usa-se a substituição u=kx, daí du=k\,dx e
\int \sin(kx)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{k} = -\frac{1}{k}\cos(u) = -\frac{1}{k}\cos(kx).
Aplicando isso aos dois termos:
  • Para \sin(12x):
\int \sin(12x)\,dx = -\frac{1}{12}\cos(12x).
  • Para \sin(2x):
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x).

Passo 5

Agora juntar tudo, lembrando do fator \tfrac{1}{2}:
\int \tfrac{1}{2}\bigl(\sin(12x)+\sin(2x)\bigr)\,dx =\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{12}\cos(12x)-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)+C.
Simplificando os coeficientes:
-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{12}\cos(12x)=-\tfrac{1}{24}\cos(12x), \qquad -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}\cos(2x)=-\tfrac{1}{4}\cos(2x).
Portanto a primitiva é
-\tfrac{1}{24}\cos(12x)-\tfrac{1}{4}\cos(2x)+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): derivando a resposta obtida deve-se retornar ao integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(-\tfrac{1}{24}\cos(12x)-\tfrac{1}{4}\cos(2x)\right) =\tfrac{1}{24}\cdot 12\sin(12x)+\tfrac{1}{4}\cdot 2\sin(2x) =\tfrac{1}{2}\sin(12x)+\tfrac{1}{2}\sin(2x) =\sin(7x)\cos(5x),
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{24}\cos(12x)-\dfrac{1}{4}\cos(2x)+C

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