Calcule as integrais por frações parciais:
\int \operatorname{sen}^{5} x \cos ^{6} x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{5}x\cos^{6}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}^{5}x\cos^{6}x.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida) em função de x.
  • Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Observação útil para decidir o caminho: na integranda há uma potência ímpar de \operatorname{sen}x (isto é, \operatorname{sen}^{5}x). Quando aparece uma potência ímpar de seno ou cosseno, uma estratégia padrão é separar um fator simples desse seno (ou cosseno) e usar a identidade \operatorname{sen}^{2}x=1-\cos^{2}x (ou o análogo trocando seno por cosseno). Isso permite fazer uma substituição do tipo u=\cos x (ou u=\sin x), transformando a integral trigonométrica numa integral polinomial em u. Vou seguir essa estratégia e explicar tudo passo a passo.

Passo 3

Separe um fator \operatorname{sen}x da potência ímpar e escreva o resto em termos de \operatorname{sen}^{2}x:
\operatorname{sen}^{5}x\cos^{6}x = \big(\operatorname{sen}^{4}x\big)\cdot\operatorname{sen}x\cdot\cos^{6}x = \big(\operatorname{sen}^{2}x\big)^{2}\operatorname{sen}x\cos^{6}x.

Passo 4

Use a identidade fundamental para trocar potências de seno por cosseno:
\operatorname{sen}^{2}x = 1-\cos^{2}x.
Substituindo em \big(\operatorname{sen}^{2}x\big)^{2} obtemos
\big(\operatorname{sen}^{2}x\big)^{2} = (1-\cos^{2}x)^{2}.
Agora a integranda fica
(1-\cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen}x\cos^{6}x.

Passo 5

Escolha a substituição adequada. Como apareceu o fator \operatorname{sen}x\,dx, é natural tomar
u=\cos x, \qquad du=-\operatorname{sen}x\,dx.
Assim \operatorname{sen}x\,dx = -du e \cos x = u. Substituindo na integral:
\int \operatorname{sen}^{5}x\cos^{6}x\,dx = \int (1-\cos^{2}x)^{2}\operatorname{sen}x\cos^{6}x\,dx = \int (1-u^{2})^{2}\,u^{6}\,(-du).

Passo 6

Tire o sinal para fora e expanda o polinômio para integrar facilmente:
\int (1-u^{2})^{2}u^{6}(-du) = -\int u^{6}(1-u^{2})^{2}\,du.
Calcule (1-u^{2})^{2}:
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Multiplicando por u^{6}
u^{6}(1-u^{2})^{2} = u^{6} - 2u^{8} + u^{10}.

Passo 7

Agora integre termo a termo:
-\int (u^{6} - 2u^{8} + u^{10})\,du = -\left(\int u^{6}\,du - 2\int u^{8}\,du + \int u^{10}\,du\right).
As primitivas são
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7},\qquad \int u^{8}\,du = \frac{u^{9}}{9},\qquad \int u^{10}\,du = \frac{u^{11}}{11}.
Portanto
-\left(\frac{u^{7}}{7} - 2\cdot\frac{u^{9}}{9} + \frac{u^{11}}{11}\right) = -\frac{u^{7}}{7} + \frac{2u^{9}}{9} - \frac{u^{11}}{11} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Volte à variável x usando u=\cos x. Substituindo:
-\frac{(\cos x)^{7}}{7} + \frac{2(\cos x)^{9}}{9} - \frac{(\cos x)^{11}}{11} + C.
Essa é a primitiva procurada. Se quiser, pode verificar derivando esse resultado e conferindo que retorna \operatorname{sen}^{5}x\cos^{6}x.

Resposta

-\dfrac{\cos^{7}x}{7}+\dfrac{2\cos^{9}x}{9}-\dfrac{\cos^{11}x}{11}+C

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