Calcule as integrais por frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida) em função de
. - Não há imagens nem dados adicionais.
Passo 2
Observação útil para decidir o caminho: na integranda há uma potência ímpar de
(isto é,
). Quando aparece uma potência ímpar de seno ou cosseno, uma estratégia padrão é separar um fator simples desse seno (ou cosseno) e usar a identidade
(ou o análogo trocando seno por cosseno). Isso permite fazer uma substituição do tipo
(ou
), transformando a integral trigonométrica numa integral polinomial em
. Vou seguir essa estratégia e explicar tudo passo a passo.
Passo 3
Separe um fator
da potência ímpar e escreva o resto em termos de
:
Passo 4
Use a identidade fundamental para trocar potências de seno por cosseno:
Substituindo em
obtemos
Agora a integranda fica
Passo 5
Escolha a substituição adequada. Como apareceu o fator
, é natural tomar
Assim
e
. Substituindo na integral:
Passo 6
Tire o sinal para fora e expanda o polinômio para integrar facilmente:
Calcule
:
Multiplicando por
dá
Passo 7
Agora integre termo a termo:
As primitivas são
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Volte à variável
usando
. Substituindo:
Essa é a primitiva procurada. Se quiser, pode verificar derivando esse resultado e conferindo que retorna
.