Calcule as integrais das funções no intervalo dado:
f(x)=x-2|x| em [-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral da função $ f(x) = x - 2|x| $ no intervalo de f(x) = x - 2|x| a -1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que calculam a área sob a curva da função no intervalo dado. Para resolver isso, precisamos entender como lidar com o valor absoluto na função e dividir o intervalo de integração de forma adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = x - 2|x| $. O valor absoluto f(x) = x - 2|x| pode ser escrito de duas maneiras, dependendo do sinal de |x|:
x
Então, podemos reescrever $ f(x) $ considerando esses dois casos.

Passo 3

Para $ x \geq 0 $:
x >= 0
Para $ x < 0 $:
f(x) = x - 2|x| = x - 2x = -x
Agora, nossa função fica assim:
x < 0

Passo 4

Como a função tem uma expressão diferente para x < 0 e x >= 0, precisamos dividir a integral no ponto onde ocorre a mudança, que é x = 0. Portanto, a integral de -1 a 1 será a soma das integrais de -1 a 0 e de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para $ x \in [-1, 0) $, $ f(x) = 3x $:
x in [-1, 0)
E para $ x \in [0, 1] $, $ f(x) = -x $:
f(x) = 3x

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
integral-1^0 3x , dx = 3 integral-1^0 x , dx = 3 [ x^22 ]-1^0 = 3 ( 0^22 - (-1)^22 ) = 3 ( 0 - 12 ) = -32

Passo 7

Agora, calculamos a segunda integral:
integral0^1 -x , dx = - integral0^1 x , dx = - [ x^22 ]0^1 = - ( 1^22 - 0^22 ) = - ( 12 - 0 ) = -12

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
-32 + (-12) = -42 = -2

Resposta

A integral de $ f(x) = x - 2|x| $ no intervalo f(x) = x - 2|x| é [-1, 1].

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