Calcule as integrais das funções no intervalo dado:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral da função $ f(x) = x - 2|x| $ no intervalo de
a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas que calculam a área sob a curva da função no intervalo dado. Para resolver isso, precisamos entender como lidar com o valor absoluto na função e dividir o intervalo de integração de forma adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = x - 2|x| $. O valor absoluto
pode ser escrito de duas maneiras, dependendo do sinal de
:
Então, podemos reescrever $ f(x) $ considerando esses dois casos.
Passo 3
Para $ x \geq 0 $:
Para $ x < 0 $:
Agora, nossa função fica assim:
Passo 4
Como a função tem uma expressão diferente para
e
, precisamos dividir a integral no ponto onde ocorre a mudança, que é
. Portanto, a integral de
a
será a soma das integrais de
a
e de
a
.
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para $ x \in [-1, 0) $, $ f(x) = 3x $:
E para $ x \in [0, 1] $, $ f(x) = -x $:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Passo 7
Agora, calculamos a segunda integral:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
Resposta
A integral de $ f(x) = x - 2|x| $ no intervalo
é
.