Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de f(x) em a=0 (suponha que f tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=ln (1+x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln(1+x) $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como calcular derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos, onde cada termo envolve derivadas da função avaliadas em um ponto específico (neste caso, $ a = 0 $). A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é:
a = 0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(1+x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $.
Primeira derivada:
f(x) = ln(1+x)
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Segunda derivada:
f'(x) = ddx ln(1+x) = 11+x
Avaliando em $ x = 0 $:
x = 0
Terceira derivada:
f'(0) = 1
Avaliando em $ x = 0 $:
f''(x) = ddx ( 11+x ) = -1(1+x)^2
Quarta derivada:
x = 0
Avaliando em $ x = 0 $:
f''(0) = -1
E assim por diante…

Passo 4

Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos. Observando o padrão, percebemos que cada derivada $ n $-ésima em $ x = 0 $ é:
n
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
x = 0
Simplificando:
f^(n)(0) = (-1)^n+1 cdot (n-1)!
Isso dá:
ln(1+x) = sumn=1^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=1^infty (-1)^n+1 cdot (n-1)!n! x^n

Passo 5

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos diz que a série converge se o limite:
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1, onde $ a_n $ é o termo geral da série. No nosso caso, $ a_n = (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $.
Calculando:
an
Para converger, precisamos que $ L < 1 $:
an = (-1)^n+1 x^nn
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Taylor de $ f(x) = \ln(1+x) $ em $ a = 0 $ é:
f(x) = ln(1+x)
E o raio de convergência dessa série é 1.

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