Nos itens abaixo, encontre a série de Taylor de
em
(suponha que
tenha expansão em uma série de Taylor). E também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \ln(1+x) $ em torno de $ a = 0 $. Além disso, vamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries de Taylor e como calcular derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos, onde cada termo envolve derivadas da função avaliadas em um ponto específico (neste caso, $ a = 0 $). A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de $ a = 0 $ (também chamada de série de Maclaurin) é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \ln(1+x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $.
Primeira derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Segunda derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Terceira derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
Quarta derivada:
Avaliando em $ x = 0 $:
E assim por diante…
Passo 4
Agora, vamos montar a série de Taylor usando as derivadas que calculamos. Observando o padrão, percebemos que cada derivada $ n $-ésima em $ x = 0 $ é:
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Simplificando:
Isso dá:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos diz que a série converge se o limite:
for menor que 1, onde $ a_n $ é o termo geral da série. No nosso caso, $ a_n = (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $.
Calculando:
Para converger, precisamos que $ L < 1 $:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Taylor de $ f(x) = \ln(1+x) $ em $ a = 0 $ é:
E o raio de convergência dessa série é 1.