Calcule as integrais.
(i) integral e^-cos 2 x d x

Passo 1

Estamos calculando a integral indefinida integral e^-cos(2x),dx. O conteúdo principal é usar a expansão em série de funções de Bessel para e^zcostheta.

Passo 2

Lembramos a função geradora dos coeficientes modificados de Bessel de primeira espécie:
e^zcostheta=I0(z)+2sumn=1^infty In(z)cos(ntheta),
onde In(z) é a função de Bessel modificada de ordem n.
Agora fazemos z=-1 e theta=2x. Como In(-1)=(-1)^nIn(1) e I0(-1)=I0(1), temos:
e^-cos(2x)=I0(1)+2sumn=1^infty(-1)^nIn(1)cos(2nx)

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral e^-cos(2x),dx=integral I0(1),dx+2sumn=1^infty(-1)^nIn(1)integralcos(2nx),dx

Passo 4

As integrais são diretas:
integral I0(1),dx=I0(1)x,integralcos(2nx),dx=12nsin(2nx)
Reunindo tudo:
integral e^-cos(2x),dx=I0(1)x+sumn=1^infty(-1)^nIn(1)nsin(2nx)+C

Resposta

integral e^-cos(2x),dx=I0(1)x+sumn=1^infty(-1)^nIn(1)nsin(2nx)+C

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