Resolva a equação:
Passo 1
A questão pede resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea
com as condições iniciais
e
. Esse é um problema de equações diferenciais lineares de 2ª ordem; a gente vai decompor a solução em parte homogênea e parte particular e depois usar as condições para achar as constantes.
Passo 2
Para encontrar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
Resolvendo, temos
Passo 3
Como o termo do 2º membro é
, que já aparece em
, a gente tenta uma particular do tipo
Esse fator
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
Passo 5
A solução geral vira
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
dá
Depois, derivando a geral
e em
temos
Como