Resolva a equação:
y^prime prime+y^prime-6 y=e^2 x, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

A questão pede resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea y''+y'-6y=e^2x com as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. Esse é um problema de equações diferenciais lineares de 2ª ordem; a gente vai decompor a solução em parte homogênea e parte particular e depois usar as condições para achar as constantes.

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo, temos r=2 e r=-3, logo
yh = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 3

Como o termo do 2º membro é e^2x, que já aparece em yh, a gente tenta uma particular do tipo
yp = A x e^2x
Esse fator x extra evita conflito com a solução homogênea.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A e^2x + 2A x e^2x,
yp'' = 2A e^2x + 2A e^2x +4A x e^2x = 4A e^2x +4A x e^2x
Substituindo em y''+y'-6y=e^2x cancela a parte em x e^2x e sobra
5A e^2x = e^2x ,Rightarrow, A=tfrac15

Passo 5

A solução geral vira
y=C1 e^2x + C2 e^-3x + 15,x e^2x

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=0
C1 + C2 = 0
Depois, derivando a geral
y' = 2C1 e^2x -3C2 e^-3x + 15e^2x + 25x e^2x,
e em x=0 temos
y'(0)=2C1 -3C2 + tfrac15=1
Como C2=-C1, isso vira 5C1 + tfrac15=1, logo C1=tfrac425 e C2=-tfrac425

Resposta

y(x)=125(4+5x)e^2x-425e^-3x

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