(a) Se f(x)=integral0^sin x raiz1+t^2 d t e g(y)=ln (1-(x x^2)), encontre g(f(x)).
(b) Derive f(x)=ln (1+sen x^2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) compor as funções
f(x)=integral0^sin xraiz1+t^2,dt e g(y)=lnl(1-y^2r), ou seja, encontrar g(f(x)); (b) derivar f(x)=lnl(1+sin(x^2)r). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para a parte (a) e a regra da cadeia para a parte (b).

Passo 2

Para (a), basta substituir y=f(x) em g(y). Assim temos:
g(f(x))=lnl(1-l(f(x)r)^2r) =lnl(1-l(integral0^sin xraiz1+t^2,dtr)^2r)

Passo 3

Para (b), aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=lnl(1+sin(x^2)r):
  1. A derivada de ln(u) em relação a u é 1/u.
  2. Aqui u=1+sin(x^2), então du/dx=cos(x^2)cdot2x (regra da cadeia interna).
    Portanto:
f'(x)=11+sin(x^2)cdotl(2xcos(x^2)r) =2xcos(x^2)1+sin(x^2)

Resposta

(a) (g(f(x))=\ln\Bigl(1-\bigl(\int_{0}^{\sin x}\sqrt{1+t2},dt\bigr)2\Bigr).\
(b) f'(x)=2xcos(x^2)1+sin(x^2)

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