Resolva a equação diferencial:
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x, y(0)=1, y^prime(0)=0
Utilize o método de variação de parâmetros.

Passo 1

Enunciado e plano: resolver a equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^x,
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0 usando o método de variação de parâmetros. Como é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, vamos primeiro achar a solução homogênea, em seguida calcular o Wronskiano, depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para achar a solução particular e, por fim, usar as condições iniciais para determinar as constantes integrais.

Passo 2

Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Suas raízes são r=1 (multiplicidade 2), logo as soluções independentes são y1(x)=e^x e y2(x)=x e^x. A solução geral homogênea fica
yh(x)=C1e^x + C2x e^x

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
W(y1,y2)=y1y2' - y1'y2 = e^x(e^x + x e^x) - e^x(x e^x) = e^2x
No método de variação de parâmetros usamos
u1' = -g(x),y2W, u2' = g(x),y1W,
onde g(x)=e^x. Substituindo y1=e^x e y2=x e^x, obtemos
u1' = -e^x cdot x e^xe^2x = -x, u2' = e^x cdot e^xe^2x = 1
Integrando, vem
u1(x) = -x^22, u2(x) = x

Passo 4

A solução particular é
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) = -x^22e^x + xcdot x e^x = x^22e^x
Logo a solução geral da equação completa é
y(x) = C1e^x + C2x e^x + x^22e^x

Passo 5

Aplicando as condições iniciais, primeiro em x=0:
y(0) = C1 = 1
Para encontrar C2, derivamos a solução geral:
y'(x) = e^xl(C1 + C2(1+x) + tfracx^22 + xr)
Em x=0:
y'(0) = C1 + C2 = 0 Rightarrow C2 = -1
Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, obtemos a solução específica.

Resposta

y(x)=e^xl(1 - x + x^22r)

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