Resolva a equação diferencial:
Utilize o método de variação de parâmetros.
Passo 1
Enunciado e plano: resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
usando o método de variação de parâmetros. Como é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, vamos primeiro achar a solução homogênea, em seguida calcular o Wronskiano, depois aplicar as fórmulas de variação de parâmetros para achar a solução particular e, por fim, usar as condições iniciais para determinar as constantes integrais.
Passo 2
Para achar a solução homogênea, montamos a equação característica:
Suas raízes são
(multiplicidade 2), logo as soluções independentes são
e
. A solução geral homogênea fica
Passo 3
Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
No método de variação de parâmetros usamos
onde
. Substituindo
e
, obtemos
Integrando, vem
Passo 4
A solução particular é
Logo a solução geral da equação completa é
Passo 5
Aplicando as condições iniciais, primeiro em
:
Para encontrar
, derivamos a solução geral:
Em
:
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução específica.