Calcule as integrais:
i) integral x e^x^2 cdot ln (e^x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é calcular a integral $ \int x e{x{2}} \cdot \ln \left(e{x{2}}\right) dx $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração como substituição e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo natural. Sabemos que $ \ln \left(e{x{2}}\right) $ é igual a $ x^{2} $, porque o logaritmo natural e a base $ e $ se cancelam. Então, a integral fica assim:
ln (e^x^2)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = x^{2} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, ou seja, $ du = 2x dx $. Mas na nossa integral temos $ x^{3} dx $, que podemos reescrever como $ x^{2} \cdot x dx = u \cdot x dx $.

Passo 4

Vamos resolver para $ x dx $ em termos de $ du $. Da equação $ du = 2x dx $, temos $ x dx = \frac{du}{2} $. Substituindo na integral, fica:
x dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver $ \int u e^{u} du $. Para isso, usamos a integração por partes, que segue a fórmula:
integral u e^u du
Vamos escolher:
  • $ v = u $ então $ dv = du $
  • $ dw = e^{u} du $ então $ w = e^{u} $
Aplicando a fórmula:
integral v , dw = v cdot w - integral w , dv

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão original:
12 integral u e^u du = 12 (u e^u - e^u) + C = 12 e^u (u - 1) + C
E, lembrando que $ u = x^{2} $, substituímos de volta:
u = x^2

Resposta

A integral é:
12 e^x^2 cdot (x^2 - 1) + C

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