Calcule as integrais:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que precisamos fazer aqui é calcular a integral $ \int x e{x{2}} \cdot \ln \left(e{x{2}}\right) dx $. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração como substituição e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo natural. Sabemos que $ \ln \left(e{x{2}}\right) $ é igual a $ x^{2} $, porque o logaritmo natural e a base $ e $ se cancelam. Então, a integral fica assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar $ u = x^{2} $. Assim, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é $ du/dx = 2x $, ou seja, $ du = 2x dx $. Mas na nossa integral temos $ x^{3} dx $, que podemos reescrever como $ x^{2} \cdot x dx = u \cdot x dx $.
Passo 4
Vamos resolver para $ x dx $ em termos de $ du $. Da equação $ du = 2x dx $, temos $ x dx = \frac{du}{2} $. Substituindo na integral, fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver $ \int u e^{u} du $. Para isso, usamos a integração por partes, que segue a fórmula:
Vamos escolher:
- $ v = u $ então $ dv = du $
- $ dw = e^{u} du $ então $ w = e^{u} $
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão original:
E, lembrando que $ u = x^{2} $, substituímos de volta:
Resposta
A integral é: