( 9 pts) Encontre os valores de x para os quais a série sumn=0^infty 2^nx^n converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores de $ x $ que fazem a série $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2{n}}{x{n}} $ convergir e, depois, calcular a soma dessa série para esses valores de $ x $. A matéria envolvida aqui é séries infinitas, mais especificamente a série geométrica. Vamos precisar entender a condição de convergência de uma série geométrica e como calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar: $ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2}{x} \right)^{n} $. Isso é uma série geométrica onde cada termo é $ \left( \frac{2}{x} \right)^{n} $.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma série geométrica da forma $ \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} $ converge se, e somente se, o valor absoluto da razão $ r $ for menor que 1, ou seja, $ |r| < 1 $.

Passo 4

No nosso caso, a razão $ r $ é $ \frac{2}{x} $. Então, para a série convergir, precisamos que:
r

Passo 5

Resolvendo a desigualdade:
| 2x | < 1 implies |x| > 2
Então, a série converge para todos os valores de $ x $ tais que $ |x| > 2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma da série quando ela converge. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
sumn=0^infty r^n = 11 - r
desde que $ |r| < 1 $.

Passo 7

Substituindo $ r = \frac{2}{x} $ na fórmula da soma:
r = 2x

Resposta

A série converge para todos os valores de $ x $ tais que $ |x| > 2 $, e a soma da série para esses valores de $ x $ é $ \frac{x}{x - 2} $.

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