Calcule as integrais:
Ib=integral[x^2 arctg(x^3)1+x^6-3 xraizx^4+2] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ib=integralgl[x^2,arctanl(x^3r)1+x^6 ;-;3xraizx^4+2gr]dx
Vamos usar duas substituições independentes:
– para o primeiro termo, reconhecer a derivada de arctan(x^3);
– para o segundo termo, usar u=x^2 para tratar raizx^4+2=raizu^2+2.

Passo 2

Integral do primeiro termo
integral x^2,arctanl(x^3r)1+x^6,dx
Faça t=arctan(x^3). Então
dt=3x^21+x^6,dx Longrightarrow x^21+x^6,dx=dt3
A integral vira
integral x^21+x^6;arctan(x^3),dx =integral t;dt3 =13,t^22 =t^26 =l[arctan(x^3)r]^26

Passo 3

Integral do segundo termo
integral l(-3xraizx^4+2r),dx
Faça u=x^2. Então du=2x,dx, ou x,dx=tfracdu2. Assim
integral -3xraizx^4+2,dx =-32integral duraizu^2+2 =-32,arsinh!l(tfracuraiz2r) ,+C

Passo 4

Voltando a u=x^2, obtemos
-32,arsinh!l(x^2raiz2r)
Como arsinh(z)=ln!l(z+raizz^2+1r), pode-se ainda escrever
-32ln!l(x^2+raizx^4+2r) ,+,constante
Juntando com o resultado do passo 2, a integral total é

Resposta

Ib =l[arctan(x^3)r]^26 ;-;32,arsinh!l(x^2raiz2r) ;+;C,
ou equivalentemente
Ib =l[arctan(x^3)r]^26 ;-;32ln!l(x^2+raizx^4+2r) ;+;C

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