Calcule as integrais:
Ic=integral(x^2 e^x^33+2 e^x^3+2+sen(3 x)cos ^2(3 x)) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
Ic=integrall(x^2e^x^33+2e^x^3+2+sin(3x)cos^2(3x)r),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição em duas partes: uma envolvendo exponencial e outra envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos escrever
Ic =integralx^2e^x^33+2e^x^3,dx +integral2+sin(3x)cos^2(3x),dx
e tratar cada uma separadamente.

Passo 3

Para
integralx^2e^x^33+2e^x^3,dx
fazemos u=3+2e^x^3. Então
du = 2cdot3x^2e^x^3,dx =6x^2e^x^3,dx Longrightarrow x^2e^x^3,dx = du6
A integral vira
integralx^2e^x^33+2e^x^3,dx =integral1u,du6 =16lnl|ur|+C1 =16lnl|3+2e^x^3r|+C1

Passo 4

Para
integral2+sin(3x)cos^2(3x),dx
separamos em
integral2cos^2(3x),dx ;+; integralsin(3x)cos^2(3x),dx
  1. integral2cos^2(3x),dx =2integralsec^2(3x),dx =2cdot13tan(3x) =23tan(3x)
  2. integralsin(3x)cos^2(3x),dx.
    Use t=cos(3x), dt=-3sin(3x),dx, logo sin(3x),dx=-dt/3.
    Então
integralsin(3x)cos^2(3x),dx =integral-13,t^-2,dt =-13l(-t^-1r) =13,1t =13cos(3x)

Passo 5

Somando tudo, obtemos
Ic =16lnl|3+2e^x^3r| +23tan(3x) +13cos(3x) +C,
onde C=C1+C2 é a constante geral de integração.

Resposta

Ic =16lnl|3+2e^x^3r| +23tan(3x) +13cos(3x) +C

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