Se uma função matricial P é integrável num intervalo [a, b] demonstrar que
|integrala^b P(t) d t| <= integrala^b|P(t)| d t

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado P:[a,b]toR^ntimes n integrável em [a,b], vale
l|integrala^bP(t),dtr|;<=;integrala^b|P(t)|,dt
O conteúdo que usaremos é a definição de integral de Riemann para funções matriciais (via somas de Riemann) e as propriedades da norma em espaços de matrizes, notadamente:
  1. |alpha M| = |alpha|,|M| para todo escalar alpha e matriz M,
  2. desigualdade triangular |M+N|<=|M|+|N|.

Passo 2

Como P é Riemann-integrável, existem somas de Riemann
S(P,P,xi) =sumi=1^mP(xii),De<a ti,
onde P=a=t0<t1<cdots<tm=b é uma partição de [a,b], xiiin[ti-1,ti] e De<a ti=ti-ti-1, que convergem à integral matricial:
lim|P|to0S(P,P,xi) =integrala^bP(t),dt

Passo 3

Em cada soma de Riemann aplicamos primeiro a propriedade escalar da norma e depois a desigualdade triangular:
l|S(P,P,xi)r| =l|sumi=1^mP(xii),De<a tir| <=sumi=1^m|P(xii),De<a ti| =sumi=1^m|De<a ti|;|P(xii)| =sumi=1^m|P(xii)|De<a ti

Passo 4

Como a função escalar tmapsto|P(t)| também é Riemann-integrável, as somas
sumi=1^m|P(xii)|De<a ti convergem a integrala^b|P(t)|,dt. Ao passar ao limite |P|to0 na desigualdade do Passo 3, obtemos
l|integrala^bP(t),dtr| <=integrala^b|P(t)|,dt

Resposta

l|integrala^bP(t),dtr|;<=;integrala^b|P(t)|,dt

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