Se uma função matricial é integrável num intervalo demonstrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado P:[a,b]toR^ntimes n integrável em [a,b], vale
l|integrala^bP(t),dtr|;<=;integrala^b|P(t)|,dt
O conteúdo que usaremos é a definição de integral de Riemann para funções matriciais (via somas de Riemann) e as propriedades da norma em espaços de matrizes, notadamente:
|alpha M| = |alpha|,|M| para todo escalar alpha e matriz M,
desigualdade triangular |M+N|<=|M|+|N|.
Passo 2
Como P é Riemann-integrável, existem somas de Riemann
S(P,P,xi) =sumi=1^mP(xii),De<a ti,
onde P=a=t0<t1<cdots<tm=b é uma partição de [a,b], xiiin[ti-1,ti] e De<a ti=ti-ti-1, que convergem à integral matricial:
lim|P|to0S(P,P,xi) =integrala^bP(t),dt
Passo 3
Em cada soma de Riemann aplicamos primeiro a propriedade escalar da norma e depois a desigualdade triangular:
l|S(P,P,xi)r| =l|sumi=1^mP(xii),De<a tir| <=sumi=1^m|P(xii),De<a ti| =sumi=1^m|De<a ti|;|P(xii)| =sumi=1^m|P(xii)|De<a ti
Passo 4
Como a função escalar tmapsto|P(t)| também é Riemann-integrável, as somas sumi=1^m|P(xii)|De<a ti convergem a integrala^b|P(t)|,dt. Ao passar ao limite |P|to0 na desigualdade do Passo 3, obtemos