Determine, em cada caso, uma função f sabendo que f^prime(x) é contínua e que:
f(0)=5 e integral arctg(f^prime(x)x) d x=x^3+K, com K in R.

Passo 1

O enunciado diz que f tem derivada contínua, satisfaz f(0)=5 e que
integral arctan!l(tfracf'(x)xr),dx = x^3 + K,
com KinR. O truque é diferenciar ambos os lados em relação a x para recuperar o integrando.

Passo 2

Diferenciando em x as duas expressões, obtemos
arctan!l(tfracf'(x)xr) = ddxl(x^3+Kr) = 3x^2
Logo
arctan!l(tfracf'(x)xr) = 3x^2

Passo 3

Aplicando a tangente em ambos os lados para isolar f'(x), vem
tfracf'(x)x = tan(3x^2),
ou seja
f'(x) = x,tan(3x^2)

Passo 4

Para encontrar f(x), integramos:
f(x) = integral x,tan(3x^2),dx + C
Fazendo a substituição u=3x^2, temos du=6x,dx, então x,dx = tfrac16du. Assim
f(x) = 16integral tan(u),du + C = -16lnl|cos(u)r| + C = -16lnl|cos(3x^2)r| + C

Passo 5

Usamos a condição inicial f(0)=5. Em x=0 temos cos(3cdot0^2)=1, logo
f(0) = -tfrac16ln|1| + C = C = 5

Resposta

boxedf(x) = -16lnl|cos(3x^2)r| + 5

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