Calcule as integrais:
Id=integral d xraiz5-4 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Id=integral dxraiz5-4x - x^2
O conteúdo envolvido é a integração de uma raiz quadrática no denominador. A ideia é completar o quadrado no termo dentro da raiz e usar a fórmula
integral duraiza^2-u^2 = arcsin!l(tfracuar) + C

Passo 2

Vamos escrever o radicando como diferença de quadrados. Note que
5 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x -5)
e
x^2 + 4x -5 = (x+2)^2 - 9
Logo
5 - 4x - x^2 = 9 - (x+2)^2

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x + 2, du = dx,
de modo que a integral se torna
Id = integral duraiz9 - u^2

Passo 4

Aplicando a fórmula padrão
integral duraiza^2-u^2 = arcsin!l(tfracuar) + C
com a = 3, obtemos
Id = arcsin!l(tfracu3r) + C = arcsin!l(tfracx+23r) + C

Resposta

Id = arcsin!l(tfracx+23r) + C

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