Calcule as seguintes integrais:
31) integral sen(x)-2cos ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sen(x)-2cos^2(x),dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, usando linearidade da integral e conhecendo que
  • ddxl(tan xr)=sec^2x,
  • ddxl(sec xr)=sec xtan x.

Passo 2

Separe a integral em duas pelo princípio da linearidade:
integral sen x - 2cos^2x,dx = integral sen xcos^2x,dx ;-;2integral 1cos^2x,dx

Passo 3

Calcule
integral sen xcos^2x,dx
usando a substituição u=cos x, de modo que du=-sen x,dx. Então
integral sen xcos^2x,dx = integral -duu^2 = integral -u^-2,du = u^-1+C = 1cos x+C = sec x + C

Passo 4

Calcule
integral 1cos^2x,dx =integral sec^2x,dx =tan x + C
Logo, juntando os dois resultados,
integral sen x - 2cos^2x,dx = sec x - 2tan x + C

Resposta

boxedsec x - 2tan x + C

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