Calcule as integrais:
Ih=integral 2+tg(1x)x^2 cos (1x) d x.

Passo 1

O enunciado nos pede a integral indefinida
Ih = integral 2 + tan!l(tfrac1xr)x^2,cos!l(tfrac1xr),dx
Para resolver vamos usar a substituição u = tfrac1x e as fórmulas conhecidas
integral sec(u),du = lnl|sec(u)+tan(u)r| + C, integral sec(u)tan(u),du = sec(u) + C

Passo 2

Faça a mudança de variável u = tfrac1x. Então
du = -1x^2,dx Longrightarrow dxx^2 = -,du
Substituindo no integrando:
2 + tan(u)x^2cos(u),dx = (2 + tan(u)),sec(u),dxx^2 = -l(2 + tan(u)r)sec(u),du

Passo 3

A integral em u fica
Ih = -integral l(2sec(u) + sec(u)tan(u)r),du = -integral 2sec(u),du ;-;integral sec(u)tan(u),du

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas:
- integral 2sec(u),du = -2lnl|sec(u)+tan(u)r|, - integral sec(u)tan(u),du = -sec(u)

Passo 5

Voltando à variável x (com u=tfrac1x), obtemos
Ih = -2ln!l|sec!l(tfrac1xr)+tan!l(tfrac1xr)r| ;-;sec!l(tfrac1xr) + C

Resposta

Ih = -2ln!l|sec!l(tfrac1xr)+tan!l(tfrac1xr)r| ;-;sec!l(tfrac1xr) + C

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