Seja D uma matriz diagonal n times n, D=diag(lambda1, cdots, lambdan). Se a série matricial sumk=0^infty ck D^k converge, demonstrar que
sumk=0^infty ck D^k=diag(sumk=0^infty ck lambda1^k, ldots, sumk=0^infty ck lambdan^k)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz diagonal DinR^ntimes n com entradas diagonais lambda1,dots,lambdan, e pede para mostrar que, se a série de matrizes
sumk=0^infty ck,D^k
converge, então seu somatório é a matriz diagonal cujas entradas são as séries escalares sumk=0^infty ck,lambdai^k. O conteúdo utilizado envolve: 1) cálculo de potências de matriz diagonal, 2) linearidade de somatório de matrizes e 3) convergência de série de matrizes via convergência em cada entrada.

Passo 2

Precisamos entender D^k. Se
D = diag(lambda1,dots,lambdan),
então, por indução ou observação direta,
D^2 = diag(lambda1^2,dots,lambdan^2), D^k = diag(lambda1^k,dots,lambdan^k)

Passo 3

Cada termo da série ckD^k é, portanto,
ckD^k = ck,diag(lambda1^k,dots,lambdan^k) = diagl(cklambda1^k,dots,cklambdan^kr)
As séries de matrizes somam-se entrada a entrada, de modo que a soma parcial
SN = sumk=0^N ckD^k
é a matriz diagonal
SN = diagl(sumk=0^N cklambda1^k,;dots,;sumk=0^N cklambdan^kr)

Passo 4

Pela hipótese, sumk=0^infty ckD^k converge como série de matrizes. Isso significa que cada série de entradas diagonais
sumk=0^infty cklambdai^k
converge para i=1,dots,n. Tomando o limite Ntoinfty em cada entrada de SN, obtemos
sumk=0^infty ckD^k = diagl(sumk=0^infty cklambda1^k,dots,sumk=0^infty cklambdan^kr)

Resposta

sumk=0^infty ckD^k = diagl(sumk=0^infty cklambda1^k,ldots,sumk=0^infty cklambdan^kr)

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