Seja
uma matriz diagonal
. Se a série matricial
converge, demonstrar que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz diagonal
com entradas diagonais
, e pede para mostrar que, se a série de matrizes
converge, então seu somatório é a matriz diagonal cujas entradas são as séries escalares
. O conteúdo utilizado envolve: 1) cálculo de potências de matriz diagonal, 2) linearidade de somatório de matrizes e 3) convergência de série de matrizes via convergência em cada entrada.
Passo 2
Precisamos entender
. Se
então, por indução ou observação direta,
Passo 3
Cada termo da série
é, portanto,
As séries de matrizes somam-se entrada a entrada, de modo que a soma parcial
é a matriz diagonal
Passo 4
Pela hipótese,
converge como série de matrizes. Isso significa que cada série de entradas diagonais
converge para
. Tomando o limite
em cada entrada de
, obtemos