Esboce (rusticamente) os gráficos de:
f(x)=l1, se x in Q 0, se x notin Q

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)= 1, & se xinQ, 0, & se xnotinQ
O conteúdo aqui é o estudo de funções definidas por partes e o uso da densidade de Q e de RsetminusQ em R para construir o gráfico.

Passo 2

Observamos que ,f(x) só assume os valores ,0 e ,1. Logo o gráfico de f está contido em duas retas horizontais: a reta y=1 e a reta y=0.

Passo 3

Como os racionais são densos em R, para todo xinR existe uma sequência de pontos racionais aproximando x. Portanto há pontos de gráfico arbitrariamente próximos de (x,1). Similarmente, os irracionais também são densos, gerando pontos próximos de (x,0) para todo x.

Passo 4

No esboço “rustico” representamos duas faixas pontilhadas: uma faixa de pontos sobre y=1 (correspondente a xinQ) e outra sobre y=0 (correspondente a xnotinQ). Essas faixas são densas e não formam linhas contínuas, mas concentram infinitos pontos em cada x.

Resposta

O gráfico consiste em dois “pulverizados” horizontais:
– Sobre a linha y=1, pontos para cada xinQ.
– Sobre a linha y=0, pontos para cada xnotinQ.
Em todo valor de x há pontos em ambas as alturas, resultando em duas faixas pontilhadas densas.

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