Calcule as integrais:
Ii=integral d xx-raiz[3]x^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral dxx - raiz[3]x^4
O conteúdo é manipular potências fracionárias e usar substituição para resolver integrais racionais em termos de x^1/3.

Passo 2

Escrevendo raiz[3]x^4 = x^4/3, o denominador fica
x - x^4/3 = xl(1 - x^1/3r)
Logo a integral original é
I = integral dxxl(1 - x^1/3r)

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x^1/3, x = t^3, dx = 3,t^2,dt
Assim,
I = integral 3,t^2,dtt^3l(1 - tr) = 3 integral t^2t^3(1-t),dt = 3 integral dtt,(1-t)

Passo 4

Para integrar 1t(1-t) usamos frações parciais:
1t(1-t) = At + B1-t
Montando 1 = A(1-t) + B,t e comparando coeficientes, obtemos A=1 e B=1. Então
1t(1-t) = 1t + 11-t

Passo 5

Substituindo na integral em t:
I = 3 integral l(1t + 11-tr),dt = 3l(integral dtt + integral dt1-tr)

Passo 6

As primitivas são
integral dtt = lnl|tr|, integral dt1-t = -lnl|1-tr|
Logo
I = 3l(ln|t| - ln|1-t|r) + C = 3lnl|t1-tr| + C

Passo 7

Voltando para x com t = x^1/3, obtemos
I = 3 ln!l|x^1/31 - x^1/3r| + C

Resposta

boxed,integral dxx - raiz[3]x^4 = 3 ln!l|x^1/31 - x^1/3r| + C

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