Calcule as integrais:
ii) Tomando a constante igual a zero, ao final do processo de integração no item anterior, estabelecemos uma função. Qual é a área definida entre o eixo x e essa função no intervalo -1 <= x <= 1, ou seja:
integral-1^1 x e^x^2 cdot ln (e^x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver o seguinte problema: calcular a integral definida entre -1 e 1 da função f(x) = x e^x^2 cdot ln(e^x^2). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais, propriedades de logaritmos e técnicas de integração. Precisaremos entender como simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo na função. Sabemos que ln(e^x^2) é uma expressão que pode ser simplificada usando propriedades dos logaritmos.

Passo 3

Usando a propriedade ln(e^a) = a, temos:
ln(e^x^2) = x^2
Portanto, a função original simplifica para:
f(x) = x e^x^2 cdot x^2 = x^3 e^x^2

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral-1^1 x^3 e^x^2 dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição u-substituição, que é útil quando temos uma função composta.

Passo 5

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando e^x^2, podemos definir:
u = x^2
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = 2x dx Rightarrow x dx = du2

Passo 6

Nossa integral original contém x^3 e^x^2 dx, que pode ser reescrita como:
x^3 e^x^2 dx = x^2 cdot x e^x^2 dx = x^2 cdot du2
Substituindo u = x^2:
12 u cdot e^u du

Passo 7

Agora, nossa integral se torna:
12 integral u e^u du
Essa é uma integral que podemos resolver por partes, onde escolheremos:
v = u e dw = e^u du
Então, calculamos:
dv = du e w = e^u

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral v , dw = v w - integral w , dv
Substituindo os valores:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u + C
Portanto:
12 integral u e^u du = 12 ( u e^u - e^u ) + C

Passo 9

Agora, substituímos u = x^2 de volta na expressão:
12 ( x^2 e^x^2 - e^x^2 ) + C = e^x^22 ( x^2 - 1 ) + C

Passo 10

Como estamos calculando uma integral definida de -1 a 1, não precisamos considerar a constante de integração C. Avaliamos a expressão obtida nos limites de integração:
Para x = 1:
e^1^22 (1^2 - 1) = e2 (1 - 1) = 0
Para x = -1:
e^(-1)^22 ((-1)^2 - 1) = e2 (1 - 1) = 0

Passo 11

A diferença entre os valores nos limites é:
0 - 0 = 0

Resposta

A área definida entre o eixo x e a função no intervalo -1 <= x <= 1 é igual a 0.

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