Calcule as integrais:
ii) Tomando a constante igual a zero, ao final do processo de integração no item anterior, estabelecemos uma função. Qual é a área definida entre o eixo x e essa função no intervalo
, ou seja:
ii) Tomando a constante igual a zero, ao final do processo de integração no item anterior, estabelecemos uma função. Qual é a área definida entre o eixo x e essa função no intervalo
Passo 1
Vamos resolver o seguinte problema: calcular a integral definida entre
e
da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais, propriedades de logaritmos e técnicas de integração. Precisaremos entender como simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte do logaritmo na função. Sabemos que
é uma expressão que pode ser simplificada usando propriedades dos logaritmos.
Passo 3
Usando a propriedade
, temos:
Portanto, a função original simplifica para:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição u-substituição, que é útil quando temos uma função composta.
Passo 5
Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando
, podemos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 6
Nossa integral original contém
, que pode ser reescrita como:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, nossa integral se torna:
Essa é uma integral que podemos resolver por partes, onde escolheremos:
Então, calculamos:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Portanto:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na expressão:
Passo 10
Como estamos calculando uma integral definida de
a
, não precisamos considerar a constante de integração
. Avaliamos a expressão obtida nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
A diferença entre os valores nos limites é:
Resposta
A área definida entre o eixo x e a função no intervalo
é igual a
.