Calcule a integral tripla
, onde I é a esfera centrada na origem e raio 5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função
sobre uma esfera centrada na origem com raio 5. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter a função e os limites de integração para coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, a esfera de raio 5 centrada na origem é definida por
. Isso significa que nosso domínio de integração
é todo ponto
que satisfaz essa condição.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano xy (longitude), -
é o ângulo a partir do eixo z (colatitude).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
Passo 4
A função que vamos integrar,
, em coordenadas esféricas fica:
Isso simplifica bastante nossa função para
.
Passo 5
O elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como a esfera tem raio 5:
-
varia de 0 a 5, -
varia de 0 a (cobrindo todo o círculo no plano xy), -
varia de 0 a (do polo norte ao sul).
Passo 7
Substituindo os limites na integral, temos:
Passo 8
Vamos resolver a integral em ordem, começando por
:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral em
:
Passo 10
Substituindo de volta:
Resposta
O valor da integral tripla é
.