Calcule a integral tripla integral triplaI(x^2+y^2+z^2) d V, onde I é a esfera centrada na origem e raio 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que envolve a função x^2 + y^2 + z^2 sobre uma esfera centrada na origem com raio 5. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como converter a função e os limites de integração para coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cartesianas, a esfera de raio 5 centrada na origem é definida por x^2 + y^2 + z^2 <= 25. Isso significa que nosso domínio de integração I é todo ponto (x, y, z) que satisfaz essa condição.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy (longitude),
  • phi é o ângulo a partir do eixo z (colatitude).
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 4

A função que vamos integrar, x^2 + y^2 + z^2, em coordenadas esféricas fica:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Isso simplifica bastante nossa função para rho^2.

Passo 5

O elemento de volume dV em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral tripla fica:
integral triplaI rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaI rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como a esfera tem raio 5:
  • rho varia de 0 a 5,
  • theta varia de 0 a 2pi (cobrindo todo o círculo no plano xy),
  • phi varia de 0 a pi (do polo norte ao sul).

Passo 7

Substituindo os limites na integral, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^5 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral em ordem, começando por rho:
integral0^5 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^5 = 5^55 - 0 = 5^4 = 625

Passo 9

Agora, a integral fica:
625 integral0^2pi integral0^pi sinphi , dphi , dtheta
Vamos resolver a integral em phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2

Passo 10

Substituindo de volta:
625 times 2 integral0^2pi dtheta = 1250 times [ theta ]0^2pi = 1250 times 2pi = 2500pi

Resposta

O valor da integral tripla é 2500pi.

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