Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a função e a região são:
-
. -
é a região elíptica dada por .
As perguntas claras: (1) calcular o valor da integral
; (2) fazer um esboço (descrever) da região
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A região
é centralizada na origem e dada por . - A integranda é a soma de duas parcelas
e .
Passo 2
Esboço e descrição da região
.
A equação da fronteira é
. Para encontrar interceptos:
- Para
: então . - Para
: então .
Portanto a fronteira é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. O esboço: uma elipse mais “achatada” no eixo
, tocando o eixo
em
e o eixo
em
.
Passo 3
Observação de simetria — ideia principal para resolver a integral de forma rápida.
A região
é simétrica em relação ao eixo
(isto é, se
então
) e também é simétrica em relação ao eixo
(se
então
). Agora separamos a integranda:
onde
e
.
Propriedade útil: se uma região
é simétrica em relação ao eixo
, então a integral de qualquer função ímpar em
sobre
é zero. Explicando isso com calma: uma função
é ímpar em
se
. Ao integrar sobre um domínio simétrico, cada par de pontos
e
contribui com valores opostos que se cancelam.
Aplicando aqui:
-
é ímpar em porque . Como é simétrica em , resulta
-
é ímpar em porque . Como é simétrica em , resulta
Passo 4
Conclusão a partir da linearidade da integral.
A integral total é a soma das duas integrais parciais:
Pelo que mostramos no Passo 3, ambas as parcelas valem zero, portanto a integral total é zero:
Passo 5
Verificação alternativa (mudança de variável para transformar a elipse em disco) — só para consolidar o raciocínio.
Faça a mudança linear
Então a fronteira
vira
, ou seja, o disco unitário
. A inversa é
. O jacobiano da transformação
é
Portanto
. A integranda fica
Assim
Mas sobre o disco
as funções
e
têm média zero por simetria (cada ponto
tem o par
e
), logo a integral de
sobre
é zero e a integral de
sobre
é zero. Assim a integral é zero, confirmando o resultado anterior.]
Resposta
0