Calcule as integrais \iint_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=2 x+y e B: 4 x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy onde a função e a região são:
  • f(x,y)=2x+y.
  • B é a região elíptica dada por 4x^{2}+y^{2}\le 1.
As perguntas claras: (1) calcular o valor da integral \iint_{B}(2x+y)\,dx\,dy; (2) fazer um esboço (descrever) da região B.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A região B é centralizada na origem e dada por 4x^{2}+y^{2}\le 1.
  • A integranda é a soma de duas parcelas 2x e y.

Passo 2

Esboço e descrição da região B.
A equação da fronteira é 4x^{2}+y^{2}=1. Para encontrar interceptos:
  • Para y=0: 4x^{2}=1 então x=\pm \tfrac{1}{2}.
  • Para x=0: y^{2}=1 então y=\pm 1.
Portanto a fronteira é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal a=\tfrac{1}{2} e semi-eixo vertical b=1. O esboço: uma elipse mais “achatada” no eixo x, tocando o eixo x em (\pm\tfrac{1}{2},0) e o eixo y em (0,\pm1).

Passo 3

Observação de simetria — ideia principal para resolver a integral de forma rápida.
A região B é simétrica em relação ao eixo y (isto é, se (x,y)\in B então (-x,y)\in B) e também é simétrica em relação ao eixo x (se (x,y)\in B então (x,-y)\in B). Agora separamos a integranda:
f(x,y)=2x+y = g(x,y)+h(x,y),
onde g(x,y)=2x e h(x,y)=y.
Propriedade útil: se uma região R é simétrica em relação ao eixo y, então a integral de qualquer função ímpar em x sobre R é zero. Explicando isso com calma: uma função p(x,y) é ímpar em x se p(-x,y)=-p(x,y). Ao integrar sobre um domínio simétrico, cada par de pontos (x,y) e (-x,y) contribui com valores opostos que se cancelam.
Aplicando aqui:
  • g(x,y)=2x é ímpar em x porque g(-x,y)=-2x=-g(x,y). Como B é simétrica em x\mapsto -x, resulta
\iint_{B} 2x\,dx\,dy = 0.
  • h(x,y)=y é ímpar em y porque h(x,-y)=-y=-h(x,y). Como B é simétrica em y\mapsto -y, resulta
\iint_{B} y\,dx\,dy = 0.

Passo 4

Conclusão a partir da linearidade da integral.
A integral total é a soma das duas integrais parciais:
\iint_{B} (2x+y)\,dx\,dy = \iint_{B} 2x\,dx\,dy + \iint_{B} y\,dx\,dy.
Pelo que mostramos no Passo 3, ambas as parcelas valem zero, portanto a integral total é zero:
\iint_{B} (2x+y)\,dx\,dy = 0 + 0 = 0.

Passo 5

Verificação alternativa (mudança de variável para transformar a elipse em disco) — só para consolidar o raciocínio.
Faça a mudança linear
u=2x,\qquad v=y.
Então a fronteira 4x^{2}+y^{2}=1 vira u^{2}+v^{2}=1, ou seja, o disco unitário D=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}. A inversa é x=\tfrac{u}{2},\\ y=v. O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}\tfrac{\partial x}{\partial u} & \tfrac{\partial x}{\partial v}\\[4pt]\tfrac{\partial y}{\partial u} & \tfrac{\partial y}{\partial v}\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}.
Portanto dx\,dy=\tfrac{1}{2}\,du\,dv. A integranda fica
2x+y = u+v.
Assim
\iint_{B}(2x+y)\,dx\,dy = \iint_{D} (u+v)\cdot \tfrac{1}{2}\,du\,dv.
Mas sobre o disco D as funções u e v têm média zero por simetria (cada ponto (u,v) tem o par (-u,v) e (u,-v)), logo a integral de u sobre D é zero e a integral de v sobre D é zero. Assim a integral é zero, confirmando o resultado anterior.]

Resposta

0

Exercícios relacionados