Calcule as integrais \iint_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=y^{5} \cos \left(x^{5}\right) e B: x \geq y^{2} e x^{2}+y^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy
para f(x,y)=y^{5}\cos\!\left(x^{5}\right) e a região
B=\{(x,y)\mid x\ge y^{2}\\ \text{e}\\ x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Informações relevantes dadas:
  • A fronteira do disco é x^{2}+y^{2}=1.
  • A outra fronteira é a parábola x=y^{2} (abertura para a direita).
  • A região B é a interseção do disco unitário com a metade para a direita determinada por x\ge y^{2}.
  • O que se pede: o valor numérico da integral dupla e também um esboço (descrição) da região de integração.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região B. Primeiro determinamos os pontos de interseção entre a parábola x=y^{2} e o círculo x^{2}+y^{2}=1. Substituindo x=y^{2} no círculo obtemos
(y^{2})^{2}+y^{2}-1=0,
ou seja, com u=y^{2},
u^{2}+u-1=0.
Resolvendo para u (aplicando a fórmula quadrática),
u=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.
Como u=y^{2}\ge 0, tomamos a raiz positiva
y^{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
Logo os pontos de interseção são
\left(x,y\right)=\left(y^{2},\,\pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right).
Numericamente, y^{2}\approx 0,618 e y\approx\pm0,786, portanto os pontos de interseção são aproximadamente (0,618,\pm0,786).

Passo 3

Descrição/esboço da região B:
  • A parábola x=y^{2} abre para a direita e passa por (0,0).
  • O círculo unitário tem centro na origem e raio 1.
  • A região B é a parte do disco onde x fica à direita da parábola; isto existe apenas para |y| até \sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}, ou seja para
-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\le y\le \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}.
  • Para cada tal y, x varia de x=y^{2} até a fronteira direita do círculo x=\sqrt{1-y^{2}}.
  • Em palavras: B é a “fatia” do disco compreendida entre a parábola x=y^{2} (à esquerda) e a circunferência x^{2}+y^{2}=1 (à direita), limitada verticalmente pelas duas interseções encontradas.

Passo 4

Agora observe a função integranda f(x,y)=y^{5}\cos\!\left(x^{5}\right). Vamos estudar sua simetria em relação ao eixo x:
  • A parte y^{5} é uma função ímpar de y: isto é, y^{5}=-(-y)^{5}.
  • A parte \cos\!\left(x^{5}\right) depende somente de x, então é inalterada ao trocar y por -y.
    Portanto, para todo (x,y),
f(x,-y)=(-y)^{5}\cos\!\left(x^{5}\right)=-y^{5}\cos\!\left(x^{5}\right)=-f(x,y).
Isso mostra que f é ímpar em y.

Passo 5

Verificamos que a região B é simétrica em relação ao eixo x: se (x,y)\in B então (x,-y)\in B. Isso porque as condições que definem B usam apenas y^{2} e x^{2}+y^{2}, que são inalteradas por y\mapsto -y. Assim B é espelhada pelo eixo x.

Passo 6

Integrais de funções ímpares sobre regiões simétricas se anulam. Formalmente, podemos escrever
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{B} f(x,-y)\,dx\,dy
fazendo a mudança de variável (x,y)\mapsto (x,-y) (que preserva o jacobiano = 1 e troca B consigo mesma). Mas como f(x,-y)=-f(x,y) segue
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{B} -f(x,y)\,dx\,dy = -\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy.
Somando os dois lados obtemos 2\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = 0, logo
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = 0.
Outra forma de ver: dividir B em B_{+}=\{(x,y)\in B:y\ge 0\} e B_{-}=\{(x,y)\in B:y\le 0\}. A contribuição de B_{+} e B_{-} se cancela porque para cada (x,y)\in B_{+} existe (x,-y)\in B_{-} com f(x,-y)=-f(x,y).

Passo 7

Comentário prático (para a prova): em vez de tentar integrar explicitamente \cos(x^{5}) em x (o que não tem primitiva elementar simples), sempre verifique simetrias da região e da função. Aqui a verificação de que a função é ímpar em y e a região é simétrica foi a maneira rápida e elegante de resolver o problema — e economiza muito tempo na prova. Você ganha pontos checando simetrias antes de tentar integrar à força.

Resposta

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