No caso x=0 e y\neq0 vale f(0,y)=0. Em (0,0) a função foi definida como 0. Portanto f é limitada em todo B por exemplo por 3:
|f(x,y)|\le 3\quad\text{para todo }(x,y)\in B.
Passo 3
Verificar continuidade fora da origem. Se (x,y)\neq(0,0) então x^{2}+y^{4}>0 e a função é composição de funções contínuas (razão com denominador não nulo), portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 4
Verificar continuidade no ponto (0,0). Precisamos ver se \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. Considere a aproximação ao longo do eixo y=0. Para y=0 e x\neq0,
Esses limites laterais são diferentes e distintos de 0, portanto o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe e f é descontínua em (0,0). Concluímos que o conjunto de pontos de descontinuidade de f é exatamente \{(0,0)\}.
Passo 5
Lembrar do critério clássico de integrabilidade de Riemann para funções limitadas em retângulos: uma função limitada em um retângulo é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida de Lebesgue (ou Jordan) zero. Explicando isso de forma simples: conjuntos finitos (ou contáveis) têm medida zero porque podem ser cobertos por cubinhos cujo somatório das áreas pode ser feito arbitrariamente pequeno.
No nosso caso o conjunto de descontinuidade é \{(0,0)\}, um conjunto com um único ponto. Um conjunto unitário tem medida zero (basta cobrir (0,0) por um retângulo de área arbitrariamente pequena). Portanto o conjunto de descontinuidade de f tem medida zero.
Passo 6
Pelo critério citado, como f é limitada em B e o conjunto de descontinuidade tem medida zero, f é Riemann integrável em B.
Passo 7
(se desejar também obter o valor da integral) Calcular \displaystyle \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy. Observe que, para todo (x,y)\neq(0,0),
ou seja, f é ímpar em relação à variável x. O retângulo B é simétrico em x (se x\in[-1,1] então -x\in[-1,1]). Para uma função Riemann integrável que é ímpar em x num domínio simétrico em x, a integral sobre B ao longo de x se cancela, portanto
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy=0.
(Justificação rápida: aplicar a mudança de variável u=-x no integral em x ou observar que para cada par (x,y) existe o ponto (-x,y) com valores opostos, que se compensam.)
Resposta
f é Riemann integrável em B. \displaystyle \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy=0