Exercício 16 Estude a integrabilidade das funções dadas.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) ;\end{array}\right. em B=[-1,1] \times[-1,1].

Passo 1

O enunciado fornece a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e a região quadrada B=[-1,1]\times[-1,1]. A pergunta é: estudar a integrabilidade de f em B.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de f para (x,y)\neq(0,0).
  • O valor atribuído em (0,0).
  • O domínio de integração é o retângulo B.]

Passo 2

Verificar se f é limitada em B (primeiro passo típico para estudar integrabilidade de Riemann). Para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\frac{3|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}.
Note que x^{2}+y^{4}\ge x^{2}, logo \sqrt{x^{2}+y^{4}}\ge\sqrt{x^{2}}=|x|. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\frac{3|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}\le\frac{3|x|}{|x|}=3.
No caso x=0 e y\neq0 vale f(0,y)=0. Em (0,0) a função foi definida como 0. Portanto f é limitada em todo B por exemplo por 3:
|f(x,y)|\le 3\quad\text{para todo }(x,y)\in B.

Passo 3

Verificar continuidade fora da origem. Se (x,y)\neq(0,0) então x^{2}+y^{4}>0 e a função é composição de funções contínuas (razão com denominador não nulo), portanto f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Verificar continuidade no ponto (0,0). Precisamos ver se \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0. Considere a aproximação ao longo do eixo y=0. Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+0}}=\frac{3x}{|x|}=3\operatorname{sign}(x).
Logo
\lim_{x\to 0^+}f(x,0)=3,\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x,0)=-3.
Esses limites laterais são diferentes e distintos de 0, portanto o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe e f é descontínua em (0,0). Concluímos que o conjunto de pontos de descontinuidade de f é exatamente \{(0,0)\}.

Passo 5

Lembrar do critério clássico de integrabilidade de Riemann para funções limitadas em retângulos: uma função limitada em um retângulo é Riemann integrável se, e somente se, o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida de Lebesgue (ou Jordan) zero. Explicando isso de forma simples: conjuntos finitos (ou contáveis) têm medida zero porque podem ser cobertos por cubinhos cujo somatório das áreas pode ser feito arbitrariamente pequeno.
No nosso caso o conjunto de descontinuidade é \{(0,0)\}, um conjunto com um único ponto. Um conjunto unitário tem medida zero (basta cobrir (0,0) por um retângulo de área arbitrariamente pequena). Portanto o conjunto de descontinuidade de f tem medida zero.

Passo 6

Pelo critério citado, como f é limitada em B e o conjunto de descontinuidade tem medida zero, f é Riemann integrável em B.

Passo 7

(se desejar também obter o valor da integral) Calcular \displaystyle \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy. Observe que, para todo (x,y)\neq(0,0),
f(-x,y)=\frac{3(-x)}{\sqrt{(-x)^{2}+y^{4}}}=-\frac{3x}{\sqrt{x^{2}+y^{4}}}=-f(x,y),
ou seja, f é ímpar em relação à variável x. O retângulo B é simétrico em x (se x\in[-1,1] então -x\in[-1,1]). Para uma função Riemann integrável que é ímpar em x num domínio simétrico em x, a integral sobre B ao longo de x se cancela, portanto
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy=0.
(Justificação rápida: aplicar a mudança de variável u=-x no integral em x ou observar que para cada par (x,y) existe o ponto (-x,y) com valores opostos, que se compensam.)

Resposta

f é Riemann integrável em B.
\displaystyle \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy=0

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