Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral dupla da função
sobre a região
, que é o triângulo com vértices
,
e
. Em resumo:
- Dados:
e triângulo com vértices . - Pedido: calcular
e fazer um esboço da região de integração.
Passo 2
Descrevendo a região
e fazendo o esboço (como desenhar na prova):
- Marcar os pontos
, no eixo e no ponto . - Unir
a por uma reta vertical (essa é a aresta ). - Unir
a por uma reta horizontal (essa é a aresta ). - Unir
a pela reta diagonal que passa por ambos (essa é a aresta ).
O triângulo fica “encostado” no eixoe no topo , com o outro lado diagonal .
Passo 3
Encontrar as equações das arestas e as desigualdades que definem
:
- A aresta entre
e tem equação . - A aresta vertical tem equação
. - A aresta superior tem equação
.
Para pontos dentro do triângulo,varia de a . Para cada valor fixo de entre e , vai da vertical até a diagonal . Então as desigualdades que descrevem são
Passo 4
Escolha da ordem de integração: vou integrar primeiro em
(integração interna em
) e depois em
. Justificativa simples: a função
é muito simples e, com a descrição acima, os limites em
são
a
(fácil), e
vai de
a
. Essa ordem evita complicações.
Passo 5
Escrever a integral dupla como integral iterada:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Observação: para a integração em
,
é tratado como constante porque estamos integrando em relação a
.
Expliquei passo a passo: a integral de uma constante
em
é
, aplicada entre os limites.
Passo 7
Agora integrar em
:
Usar as regras básicas de antiderivadas:
Portanto
Passo 8
Somar as frações:
Logo o valor da integral é
.