Calcule as integrais \iint_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=y+1 e B o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,1).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral dupla da função f(x,y)=y+1 sobre a região B, que é o triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,1). Em resumo:
  • Dados: f(x,y)=y+1 e B= triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,1).
  • Pedido: calcular \displaystyle \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy e fazer um esboço da região de integração.

Passo 2

Descrevendo a região B e fazendo o esboço (como desenhar na prova):
  • Marcar os pontos (0,0), (0,1) no eixo y e (1,1) no ponto x=1,y=1.
  • Unir (0,0) a (0,1) por uma reta vertical (essa é a aresta x=0).
  • Unir (0,1) a (1,1) por uma reta horizontal (essa é a aresta y=1).
  • Unir (1,1) a (0,0) pela reta diagonal que passa por ambos (essa é a aresta y=x).
    O triângulo fica “encostado” no eixo x=0 e no topo y=1, com o outro lado diagonal y=x.

Passo 3

Encontrar as equações das arestas e as desigualdades que definem B:
  • A aresta entre (0,0) e (1,1) tem equação y=x.
  • A aresta vertical tem equação x=0.
  • A aresta superior tem equação y=1.
    Para pontos dentro do triângulo, y varia de 0 a 1. Para cada valor fixo de y entre 0 e 1, x vai da vertical x=0 até a diagonal x=y. Então as desigualdades que descrevem B são
0 \le y \le 1,\qquad 0 \le x \le y.

Passo 4

Escolha da ordem de integração: vou integrar primeiro em x (integração interna em x) e depois em y. Justificativa simples: a função f(x,y)=y+1 é muito simples e, com a descrição acima, os limites em x são 0 a y (fácil), e y vai de 0 a 1. Essa ordem evita complicações.

Passo 5

Escrever a integral dupla como integral iterada:
\iint_{B} (y+1)\,dx\,dy \;=\; \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y} (y+1)\,dx\right)dy.

Passo 6

Calcular a integral interna em x. Observação: para a integração em x, y é tratado como constante porque estamos integrando em relação a x.
\int_{x=0}^{y} (y+1)\,dx = (y+1)\int_{x=0}^{y} 1\,dx = (y+1)\bigl[x\bigr]_{0}^{y} = (y+1)\cdot y = y(y+1).
Expliquei passo a passo: a integral de uma constante C em x é C\cdot x, aplicada entre os limites.

Passo 7

Agora integrar em y:
\int_{0}^{1} y(y+1)\,dy = \int_{0}^{1} (y^{2}+y)\,dy.
Usar as regras básicas de antiderivadas:
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3},\qquad \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1} (y^{2}+y)\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3} + \frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}.

Passo 8

Somar as frações:
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}.
Logo o valor da integral é \dfrac{5}{6}.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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