Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
e
é o semicírculo superior de centro na origem e raio
. Ou seja:
- Região
dada por . - A tarefa: avaliar a integral
e fazer um esboço da região de integração.
Passo 2
Esboço e descrição da região (como desenhar rapidinho na prova):
- Desenhe o círculo de centro na origem e raio
. - Sombrar a metade superior (onde
). Esse é o semicírculo . - Em coordenadas cartesianas, os limites podem ser descritos como
- Em coordenadas polares (mais natural aqui),
corresponde a
O esboço serve para visualizar simetrias: a região é simétrica em relação ao eixo
(troca
por
).
Passo 3
Escolha do método e revisão curta da mudança para coordenadas polares (por que usar).
- Motivo: a região é um (semi)círculo; coordenadas polares tornam os limites simples (
de a , de a ). - Fórmulas de conversão:
- Jacobiano (elemento de área): ao trocar para polares,
vira . Explicando: pequenas áreas planas em polares têm tamanho aproximadamente (produto do raio pelo arco), por isso aparece o fator .
Passo 4
Transformar a integral para coordenadas polares.
- Substituindo
e em obtemos - O elemento de área é
. - Logo o integrando total fica
. - Os limites são
e . Assim a integral é
Passo 5
Calcular a integral interna em
.
- A integral em
é . - Cálculo passo a passo:
- Assim a integral completa reduz-se a
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Integramos termo a termo:
- Avaliando de
a : - Sabendo
, temos - Portanto
Passo 7
Checagem alternativa por simetria (uma forma rápida que vale na prova).
- Note que
. - A região
é simétrica em relação ao eixo ; a função é ímpar em . Logo . - Assim fica
. - Calculando
em polares obtém-se exatamente o mesmo cálculo anterior e o mesmo resultado . Isso confirma o que encontramos.
Passo 8
Comentário final e incentivo
- Resultado intuitivo: a contribuição de
some por simetria; a contribuição de positiva sobre o semicírculo dá . - Você conseguiu! Em provas, sempre olhe primeiro para simetrias — elas podem simplificar muito o cálculo.