Calcule as integrais \iint_{B} f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=y-x e B é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=y-x e B é o semicírculo superior de centro na origem e raio 1. Ou seja:
  • Região B dada por \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\; y\ge 0\}.
  • A tarefa: avaliar a integral \iint_{B}(y-x)\,dx\,dy e fazer um esboço da região de integração.

Passo 2

Esboço e descrição da região (como desenhar rapidinho na prova):
  • Desenhe o círculo de centro na origem e raio 1.
  • Sombrar a metade superior (onde y\ge 0). Esse é o semicírculo B.
  • Em coordenadas cartesianas, os limites podem ser descritos como -1\le x\le 1,\qquad 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}}.
  • Em coordenadas polares (mais natural aqui), B corresponde a 0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \pi.
O esboço serve para visualizar simetrias: a região é simétrica em relação ao eixo y (troca x por -x).

Passo 3

Escolha do método e revisão curta da mudança para coordenadas polares (por que usar).
  • Motivo: a região é um (semi)círculo; coordenadas polares tornam os limites simples ( r de 0 a 1, \theta de 0 a \pi).
  • Fórmulas de conversão: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Jacobiano (elemento de área): ao trocar para polares, dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Explicando: pequenas áreas planas em polares têm tamanho aproximadamente r\,dr\,d\theta (produto do raio pelo arco), por isso aparece o fator r.

Passo 4

Transformar a integral para coordenadas polares.
  • Substituindo x e y em f(x,y)=y-x obtemos f(r,\theta)=r\sin\theta - r\cos\theta = r(\sin\theta-\cos\theta).
  • O elemento de área é dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
  • Logo o integrando total fica r(\sin\theta-\cos\theta)\cdot r = r^{2}(\sin\theta-\cos\theta).
  • Os limites são r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi]. Assim a integral é \iint_{B}(y-x)\,dx\,dy =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}(\sin\theta-\cos\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r.
  • A integral em r é \displaystyle \int_{0}^{1} r^{2}\,dr.
  • Cálculo passo a passo: \int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
  • Assim a integral completa reduz-se a \iint_{B}(y-x)\,dx\,dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} (\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta.
  • Integramos termo a termo: \int (\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta = -\cos\theta - \sin\theta + C.
  • Avaliando de 0 a \pi: \left[-\cos\theta - \sin\theta\right]_{0}^{\pi} =\big(-\cos\pi - \sin\pi\big)-\big(-\cos 0 - \sin 0\big).
  • Sabendo \cos\pi=-1,\\ \sin\pi=0,\\ \cos0=1,\\ \sin0=0, temos =\big(-(-1)-0\big)-\big(-1-0\big)=1-(-1)=2.
  • Portanto \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi} (\sin\theta-\cos\theta)\,d\theta = \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{2}{3}.

Passo 7

Checagem alternativa por simetria (uma forma rápida que vale na prova).
  • Note que \iint_{B}(y-x)\,dA = \iint_{B} y\,dA - \iint_{B} x\,dA.
  • A região B é simétrica em relação ao eixo y; a função x é ímpar em x. Logo \iint_{B} x\,dA = 0.
  • Assim fica \iint_{B}(y-x)\,dA = \iint_{B} y\,dA.
  • Calculando \iint_{B} y\,dA em polares obtém-se exatamente o mesmo cálculo anterior e o mesmo resultado \tfrac{2}{3}. Isso confirma o que encontramos.

Passo 8

Comentário final e incentivo
  • Resultado intuitivo: a contribuição de -x some por simetria; a contribuição de y positiva sobre o semicírculo dá \tfrac{2}{3}.
  • Você conseguiu! Em provas, sempre olhe primeiro para simetrias — elas podem simplificar muito o cálculo.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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