Calcule as integrais:
\iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right) d \mathrm{~A}\quad sendo D a região definida porã0 \leq \mathrm{x} \leq 1,0 \leq \mathrm{y} \leq 3$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3x^{2}+y^{2}-10\right)\,dA
onde a região D é o retângulo dado por
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a ser integrada é f(x,y)=3x^{2}+y^{2}-10.
  • A região D é um retângulo com limites constantes para x e para y: x vai de 0 a 1 e y vai de 0 a 3.
  • A integral pedida é uma integral dupla sobre um domínio simples (retângulo).

Passo 2

Mini-aula rápida e necessária: quando a função f(x,y) é contínua num retângulo D, a integral dupla sobre D pode ser calculada como uma integral iterada (teorema de Fubini). Isso significa que se pode escrever
\iint_{D} f(x,y)\,dA = \int_{x=a}^{b}\left(\int_{y=c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx
ou trocando as ordens, integrando primeiro em x e depois em y. Aqui a,b,c,d são os limites do retângulo. No nosso caso a=0, b=1, c=0, d=3. Vou usar a ordem dy\,dx (integrar primeiro em y, depois em x), que é direta porque os limites são constantes.

Passo 3

Escrevendo a integral como iterada:
\iint_{D}\left(3x^{2}+y^{2}-10\right)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{3}\bigl(3x^{2}+y^{2}-10\bigr)\,dy\right)dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • 3x^{2}+y^{2}-10 é a função integranda.
  • dy indica que a integração interna é em relação a y, mantendo x como constante nessa etapa.
  • dx indica que a integração externa é em relação a x.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{y=0}^{3}\bigl(3x^{2}+y^{2}-10\bigr)\,dy.
Regra de integração que vamos usar (regrinhas básicas):
  • Para uma constante C em relação a y, tem-se \displaystyle \int C\,dy = C y.
  • Para potência, \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} (quando n\neq -1). Em particular \displaystyle \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Aplicando essas regras, separamos termos:
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}+y^{2}-10\bigr)\,dy = \int_{0}^{3}(3x^{2}-10)\,dy+\int_{0}^{3}y^{2}\,dy.
Como 3x^{2}-10 é constante em y,
\int_{0}^{3}(3x^{2}-10)\,dy=(3x^{2}-10)\,y\Big|_{0}^{3}=(3x^{2}-10)\cdot 3.
E
\int_{0}^{3}y^{2}\,dy=\frac{y^{3}}{3}\Big|_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}=\frac{27}{3}=9.
Somando os resultados da integral interna obtemos
\int_{0}^{3}\bigl(3x^{2}+y^{2}-10\bigr)\,dy=(3x^{2}-10)\cdot 3 + 9.
Fazendo a multiplicação e simplificação parcial:
(3x^{2}-10)\cdot 3 + 9 = 9x^{2}-30+9 = 9x^{2}-21.

Passo 5

Agora a integral dupla ficou reduzida a uma integral simples em x:
\iint_{D}\bigl(3x^{2}+y^{2}-10\bigr)\,dA = \int_{0}^{1}\bigl(9x^{2}-21\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos em x. Regras usadas:
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int C\,dx = Cx para constante C.
Aplicando:
\int_{0}^{1}\bigl(9x^{2}-21\bigr)\,dx =9\int_{0}^{1}x^{2}\,dx - 21\int_{0}^{1}1\,dx =9\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} - 21\cdot x\Big|_{0}^{1}.
Avaliação dos limites:
9\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} = 9\cdot\frac{1^{3}}{3}-0 = 9\cdot\frac{1}{3}=3,
21\cdot x\Big|_{0}^{1}=21\cdot 1 - 0 = 21.
Portanto a integral vale
3-21.

Passo 7

Verificação alternativa (checagem por linearidade, útil para ganhar confiança): integrar termo a termo sobre o retângulo D.
  • Para 3x^{2}: \displaystyle \iint_{D}3x^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}3x^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}3x^{2}\cdot 3\,dx = 9\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{1}{3}=3.
  • Para y^{2}: \displaystyle \iint_{D}y^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}y^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}9\,dx = 9.
  • Para -10: \displaystyle \iint_{D}-10\,dA = -10\cdot \text{area}(D) = -10\cdot(1\cdot 3) = -30.
    Somando: 3+9-30, que é exatamente a expressão obtida antes (equivalente a 3-21).

Resposta

-18

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