Calcule as integrais: \iint_{D}\left(3 x^{2}+y^{2}-10\right) d \mathrm{~A}\quad sendo D a região definida por0 \leq \mathrm{x} \leq 1,0 \leq \mathrm{y} \leq 3$
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3x^{2}+y^{2}-10\right)\,dA
onde a região D é o retângulo dado por
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le 3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função a ser integrada é f(x,y)=3x^{2}+y^{2}-10.
A região D é um retângulo com limites constantes para x e para y: x vai de 0 a 1 e y vai de 0 a 3.
A integral pedida é uma integral dupla sobre um domínio simples (retângulo).
Passo 2
Mini-aula rápida e necessária: quando a função f(x,y) é contínua num retângulo D, a integral dupla sobre D pode ser calculada como uma integral iterada (teorema de Fubini). Isso significa que se pode escrever
ou trocando as ordens, integrando primeiro em x e depois em y. Aqui a,b,c,d são os limites do retângulo. No nosso caso a=0, b=1, c=0, d=3. Vou usar a ordem dy\,dx (integrar primeiro em y, depois em x), que é direta porque os limites são constantes.
Para y^{2}: \displaystyle \iint_{D}y^{2}\,dA = \int_{0}^{1}\int_{0}^{3}y^{2}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}9\,dx = 9.
Para -10: \displaystyle \iint_{D}-10\,dA = -10\cdot \text{area}(D) = -10\cdot(1\cdot 3) = -30.
Somando: 3+9-30, que é exatamente a expressão obtida antes (equivalente a 3-21).