Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x}\left(y^{2}+x^{3}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x}\left(y^{2}+x^{3}\right)\, d y\, d x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável de integração exterior é x, que varia de 0 até 1: 0\le x\le1.
  • Para cada x fixo, a variável de integração interior é y, que varia de y=x até y=2x.
  • A função integranda é y^{2}+x^{3}.
  • O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia imediata: calcular primeiro a integral interior em y (já que a ordem dada é dy\,dx).
Antes de calcular, lembrar duas regras básicas de integrais de polinômios (coisa que cai muito na prova):
  • A primitiva de y^{2} em relação a y é \dfrac{y^{3}}{3}, porque \dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{y^{3}}{3}\right)=y^{2}.
  • Se uma expressão depende de x mas a integração é em y, então essa expressão é constante em relação a y. Assim, a primitiva de x^{3} em relação a y é x^{3}y (trata-se de x^{3} multiplicado por y).

Passo 3

Calcular a integral interior em y:
\int_{x}^{2x}\left(y^{2}+x^{3}\right)\,dy = \left[\dfrac{y^{3}}{3} + x^{3}y\right]_{y=x}^{y=2x}.
Agora avaliar nos limites y=2x e y=x:
\left(\dfrac{(2x)^{3}}{3} + x^{3}(2x)\right) - \left(\dfrac{x^{3}}{3} + x^{3}(x)\right).

Passo 4

Simplificar termo a termo:
  • Para as parcelas com y^{3}/3: \dfrac{(2x)^{3}}{3}-\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{8x^{3}}{3}-\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{7x^{3}}{3}.
  • Para as parcelas com x^{3}y: x^{3}(2x)-x^{3}(x)=2x^{4}-x^{4}=x^{4}.
Somando,
\int_{x}^{2x}\left(y^{2}+x^{3}\right)\,dy = \dfrac{7}{3}x^{3} + x^{4}.

Passo 5

Agora integrar a expressão obtida em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(\dfrac{7}{3}x^{3}+x^{4}\right)\,dx = \dfrac{7}{3}\int_{0}^{1}x^{3}\,dx + \int_{0}^{1}x^{4}\,dx.
Usar a regra geral \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\dfrac{7}{3}\cdot\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} + \left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5}.

Passo 6

Calcular os números racionais:
\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12},\qquad \dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{35}{60}+\dfrac{12}{60}=\dfrac{47}{60}.

Resposta

\dfrac{47}{60}

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