Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas e o que é pedido:
- A variável de integração exterior é
, que varia de até : . - Para cada
fixo, a variável de integração interior é , que varia de até . - A função integranda é
. - O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Estratégia imediata: calcular primeiro a integral interior em
(já que a ordem dada é
).
Antes de calcular, lembrar duas regras básicas de integrais de polinômios (coisa que cai muito na prova):
Antes de calcular, lembrar duas regras básicas de integrais de polinômios (coisa que cai muito na prova):
- A primitiva de
em relação a é , porque . - Se uma expressão depende de
mas a integração é em , então essa expressão é constante em relação a . Assim, a primitiva de em relação a é (trata-se de multiplicado por ).
Passo 3
Calcular a integral interior em
:
Agora avaliar nos limites
e
:
Passo 4
Simplificar termo a termo:
- Para as parcelas com
: - Para as parcelas com
:
Somando,
Passo 5
Agora integrar a expressão obtida em
de
a
:
Usar a regra geral
:
Passo 6
Calcular os números racionais: