Calcule as integrais.
\iint_{D} x \mathrm{~d} A, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada por x=0, y=0, y=1-x^{2} e y=4-x^{2}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Pede-se calcular \displaystyle \iint_{D} x\,\mathrm{d}A.
  • A região D está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e retas: x=0, y=0, y=1-x^{2} e y=4-x^{2}.
  • Pontos importantes (pegaram-se estes valores das interseções das curvas com os eixos):
    • Para y=1-x^{2} temos interseção com o eixo x em x=\pm1; no primeiro quadrante o ponto é (1,0).
    • Para y=4-x^{2} temos interseção com o eixo x em x=\pm2; no primeiro quadrante o ponto é (2,0).
    • Na reta x=0 as parabolas valem y=1 e y=4, então os pontos (0,1) e (0,4) aparecem na fronteira.
  • Observação sobre as duas parabolas: para qualquer x real vale 4-x^{2}>1-x^{2}. Elas não se cruzam entre si; a diferença é sempre 3.
  • Portanto o contorno em primeiro quadrante utiliza os pontos (0,0), (0,1), (0,4), (1,0) e (2,0). A região fechada D é a que tem fronteira formada por esses quatro pedaços.

Passo 2

Descrever a região D de modo a montar integrais iteradas (escolher variáveis e limites):
  • Para entender a forma de D olhe para fatias verticais (fixando x):
    • Se 0\le x\le1, então ambas as parabolas têm y>0. Nessa faixa a curva inferior que delimita D é y=1-x^{2} e a superior é y=4-x^{2}. Logo, para 0\le x\le1 temos 1-x^{2}\le y\le 4-x^{2}.
    • Se 1\le x\le2, a parábola inferior y=1-x^{2} já caiu abaixo do eixo y=0 (porque em x=1 ela atinge y=0), mas a superior y=4-x^{2} ainda está positiva até x=2. Nessa faixa a fronteira inferior é y=0 e a superior é y=4-x^{2}. Logo, para 1\le x\le2 temos 0\le y\le 4-x^{2}.
  • Conclusão: é natural dividir D em duas sub-regiões e integrar por y primeiro (integral interna em y, externa em x):
    • Região D_{1}: 0\le x\le1, 1-x^{2}\le y\le 4-x^{2}.
    • Região D_{2}: 1\le x\le2, 0\le y\le 4-x^{2}.

Passo 3

Escrever a integral como soma das integrais sobre D_{1} e D_{2}:
\iint_{D} x\,\mathrm{d}A = \iint_{D_{1}} x\,\mathrm{d}A + \iint_{D_{2}} x\,\mathrm{d}A = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1-x^{2}}^{4-x^{2}} x\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x + \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{4-x^{2}} x\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x.
Explicação breve do porquê: como x não depende de y, a integral interna será simples; e os limites em y foram definidos no passo anterior analisando as fatias verticais.

Passo 4

Calcular a primeira integral (sobre D_{1}) passo a passo:
  • A integral interna é, para 0\le x\le1,
\int_{y=1-x^{2}}^{4-x^{2}} x\,\mathrm{d}y = x\left[y\right]_{y=1-x^{2}}^{y=4-x^{2}} = x\bigl((4-x^{2})-(1-x^{2})\bigr) = x\cdot 3 = 3x.
  • Agora integrar em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1} 3x\,\mathrm{d}x = 3\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = 3\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Calcular a segunda integral (sobre D_{2}) passo a passo:
  • A integral interna é, para 1\le x\le2,
\int_{y=0}^{4-x^{2}} x\,\mathrm{d}y = x\left[y\right]_{0}^{4-x^{2}} = x(4-x^{2}) = 4x - x^{3}.
  • Agora integrar em x de 1 a 2:
\int_{1}^{2} (4x - x^{3})\,\mathrm{d}x = \left[2x^{2} - \tfrac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}.
Calcule os valores:
  • Para x=2: 2\cdot 2^{2} - \tfrac{2^{4}}{4} = 2\cdot4 - \tfrac{16}{4} = 8 - 4 = 4.
  • Para x=1: 2\cdot1^{2} - \tfrac{1^{4}}{4} = 2 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}.
Diferença:
\int_{1}^{2} (4x - x^{3})\,\mathrm{d}x = 4 - \tfrac{7}{4} = \tfrac{9}{4}.

Passo 6

Somar as duas contribuições e concluir:
\iint_{D} x\,\mathrm{d}A = \tfrac{3}{2} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{6}{4} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{15}{4}.
Fica aí um resultado numérico limpo: \tfrac{15}{4}. Boa! Conseguiu ver como dividir a região e montar as integrais — essa técnica de fatiar em x (ou em y conforme o caso) é a chave para muitas integrais duplas.

Resposta

\dfrac{15}{4}

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