Calcule as integrais.
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
,
e
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos:
- Pede-se calcular
. - A região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e retas: , , e . - Pontos importantes (pegaram-se estes valores das interseções das curvas com os eixos):
- Para
temos interseção com o eixo em ; no primeiro quadrante o ponto é . - Para
temos interseção com o eixo em ; no primeiro quadrante o ponto é . - Na reta
as parabolas valem e , então os pontos e aparecem na fronteira.
- Para
- Observação sobre as duas parabolas: para qualquer
real vale . Elas não se cruzam entre si; a diferença é sempre . - Portanto o contorno em primeiro quadrante utiliza os pontos
, , , e . A região fechada é a que tem fronteira formada por esses quatro pedaços.
Passo 2
Descrever a região
de modo a montar integrais iteradas (escolher variáveis e limites):
- Para entender a forma de
olhe para fatias verticais (fixando ): - Se
, então ambas as parabolas têm . Nessa faixa a curva inferior que delimita é e a superior é . Logo, para temos . - Se
, a parábola inferior já caiu abaixo do eixo (porque em ela atinge ), mas a superior ainda está positiva até . Nessa faixa a fronteira inferior é e a superior é . Logo, para temos .
- Se
- Conclusão: é natural dividir
em duas sub-regiões e integrar por primeiro (integral interna em , externa em ): - Região
: , . - Região
: , .
- Região
Passo 3
Escrever a integral como soma das integrais sobre
e
:
Explicação breve do porquê: como
não depende de
, a integral interna será simples; e os limites em
foram definidos no passo anterior analisando as fatias verticais.
Passo 4
Calcular a primeira integral (sobre
) passo a passo:
- A integral interna é, para
,
- Agora integrar em
de a :
Passo 5
Calcular a segunda integral (sobre
) passo a passo:
- A integral interna é, para
,
- Agora integrar em
de a :
Calcule os valores:
- Para
: - Para
:
Diferença:
Passo 6
Somar as duas contribuições e concluir:
Fica aí um resultado numérico limpo:
. Boa! Conseguiu ver como dividir a região e montar as integrais — essa técnica de fatiar em
(ou em
conforme o caso) é a chave para muitas integrais duplas.