Calcule as integrais.
\iint_{D} \sqrt{1+y^{3}} \mathrm{~d} A, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \sqrt{x} \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}A,
onde o conjunto D é dado por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x}\le y\le 1\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A desigualdade \sqrt{x}\le y exige que \sqrt{x} esteja bem definida, logo x\ge 0.
  • Como \sqrt{x}\ge 0 para x\ge 0, da desigualdade \sqrt{x}\le y segue que y\ge 0.
  • A segunda desigualdade diz y\le 1. Portanto y está entre 0 e 1.
  • Se \sqrt{x}\le y então, quadrando (sabendo que y\ge 0), obtemos x\le y^{2}.
  • Resumo do domínio em coordenadas iteradas:
    • Para cada y com 0\le y\le 1, x varia entre 0 e y^{2}.
    • Alternativamente, para cada x com 0\le x\le 1, y varia entre \sqrt{x} e 1.
  • Observação útil: a função integranda \sqrt{1+y^{3}} depende só de y, não de x.

Passo 2

Escolher a ordem de integração. Como a integranda depende somente de y, é mais conveniente integrar primeiro em x (para obter um fator de comprimento em x) e depois integrar em y. Isso simplifica porque a integração em x apenas multiplica por a largura do intervalo em x).

Passo 3

Escrever a integral dupla como integral iterada com a ordem dx\,dy usando os limites identificados:
\iint_{D} \sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}A = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{y^{2}} \sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.
Aqui usei que, como peguei a informação do domínio, para cada y\in[0,1] temos x\in[0,y^2].

Passo 4

Calcular a integral interna em x. A integranda não depende de x, então a integral em x é simplesmente o produto da função por x avaliada entre as barras:
\int_{x=0}^{y^{2}} \sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}x = \sqrt{1+y^{3}}\cdot\bigl[y\bigr]_{x=0}^{x=y^{2}} = \sqrt{1+y^{3}}\cdot(y^{2}-0) = y^{2}\sqrt{1+y^{3}}.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{0}^{1} y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Fazer uma substituição apropriada para calcular a integral
\int_{0}^{1} y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}y.
A escolha natural é u=1+y^{3}, porque a derivada de y^{3} é 3y^{2}, que aparece multiplicando dy. Calcular du:
u=1+y^{3}\quad\Rightarrow\quad du=3y^{2}\,\mathrm{d}y.
Assim
y^{2}\,\mathrm{d}y=\frac{1}{3}\,du.

Passo 6

Trocar os limites de integração para u. Quando y=0, u=1+0^{3}=1. Quando y=1, u=1+1^{3}=2. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}y = \int_{u=1}^{2} \sqrt{u}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du.

Passo 7

Calcular a primitiva de u^{1/2}. Sabendo que a primitiva de u^{p} é \dfrac{u^{p+1}}{p+1} para p\neq -1, temos:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{9}\left(u^{3/2}\right)\Big|_{1}^{2}.

Passo 8

Avaliar nos extremos u=2 e u=1:
\frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1^{3/2}\right) = \frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1\right).
Podemos simplificar 2^{3/2}=2\sqrt{2}, obtendo uma forma alternativa:
\frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1\right)=\frac{2}{9}\left(2\sqrt{2}-1\right)=\frac{4\sqrt{2}-2}{9}.

Resposta

\dfrac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)

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