Calcule as integrais. \iint_{D} \sqrt{1+y^{3}} \mathrm{~d} A, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \sqrt{x} \leq y \leq 1\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \sqrt{1+y^{3}}\,\mathrm{d}A,
onde o conjunto D é dado por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\sqrt{x}\le y\le 1\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A desigualdade \sqrt{x}\le y exige que \sqrt{x} esteja bem definida, logo x\ge 0.
Como \sqrt{x}\ge 0 para x\ge 0, da desigualdade \sqrt{x}\le y segue que y\ge 0.
A segunda desigualdade diz y\le 1. Portanto y está entre 0 e 1.
Se \sqrt{x}\le y então, quadrando (sabendo que y\ge 0), obtemos x\le y^{2}.
Resumo do domínio em coordenadas iteradas:
Para cada y com 0\le y\le 1, x varia entre 0 e y^{2}.
Alternativamente, para cada x com 0\le x\le 1, y varia entre \sqrt{x} e 1.
Observação útil: a função integranda \sqrt{1+y^{3}} depende só de y, não de x.
Passo 2
Escolher a ordem de integração. Como a integranda depende somente de y, é mais conveniente integrar primeiro em x (para obter um fator de comprimento em x) e depois integrar em y. Isso simplifica porque a integração em x apenas multiplica por a largura do intervalo em x).
Passo 3
Escrever a integral dupla como integral iterada com a ordem dx\,dy usando os limites identificados:
Aqui usei que, como peguei a informação do domínio, para cada y\in[0,1] temos x\in[0,y^2].
Passo 4
Calcular a integral interna em x. A integranda não depende de x, então a integral em x é simplesmente o produto da função por x avaliada entre as barras: