Calcule as integrais \iint_{R} f(x, y) d x d y sendo: f(x, y)=x e R a região limitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy
onde f(x,y)=x e R é a região limitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.\n
Informações dadas:
A função a integrar é f(x,y)=x.\n
A região R é a parte do plano entre as curvas y=x e y=x^{2}.\n
Devemos calcular a área “ponderada” por x sobre essa região, ou seja, a integral dupla de x sobre R.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção entre as curvas, resolvendo
x = x^{2}.
Essa equação é
x^{2}-x=0\quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0,
logo as soluções são x=0 e x=1. Substituindo em y=x ou y=x^{2}, obtemos os pontos de interseção (0,0) e (1,1).
Passo 3
Precisamos saber, para x entre 0 e 1, qual curva está acima (maior y) e qual está abaixo. Compare y=x e y=x^{2} para 0<x<1. Como 0<x<1 implica x^{2}<x, temos
x^{2} < x\quad\text{para }0<x<1.
Um exemplo numérico: para x=\tfrac{1}{2}, x^{2}=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}=x. Portanto, sobre o intervalo x\in[0,1] a curva y=x^{2} é a fronteira inferior e y=x é a fronteira superior. Assim a região R pode ser descrita por
0\le x\le 1,\qquad x^{2}\le y\le x.
Passo 4
Como f(x,y)=x é contínua em toda a região considerada, podemos usar a integração iterada (Teorema de Fubini) e integrar primeiro em y e depois em x. Escrevemos a integral dupla como
Explicando a ideia: para cada x fixo em [0,1] tomamos um “segmento vertical” de y que vai de y=x^{2} até y=x; em cada segmento integrando x em relação a y tratamos x como constante.
Passo 5
Calcule a integral interna em y. Como x é constante quando integramos em y,