- Determine os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função
sujeita a
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine os possíveis pontos de máximo ou mínimo” da função
sujeita à restrição
.
Informações dadas:
Queremos localizar pontos no conjunto definido por
onde
atinge extremos (máximos ou mínimos) e classificá-los (se possível).
Passo 2
Escolhemos resolver por multiplicadores de Lagrange. Breve aula: a ideia é que, em um ponto ótimo interior da superfície
, o gradiente de
deve ser paralelo ao gradiente de
. Isso leva a procurar
tal que
Aqui
é o vetor das derivadas parciais de
e
o das derivadas de
. Introduzimos a função Lagrangiana
As condições de primeira ordem são:
Vou montar essas equações e resolvê-las passo a passo.
Passo 3
Calculemos as derivadas e escrevamos o sistema.
A Lagrangiana é
Derivando:
E a restrição
Então temos o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema por casos sobre
.
Observe que cada uma das primeiras três equações dá uma condição do tipo “ou a variável é zero, ou uma relação sobre
é satisfeita”. As possibilidades úteis para
são as que anulam os fatores:
Caso
:
- Da primeira equação:
é satisfeita para qualquer . - Da segunda:
implica . - Da terceira:
implica .
Substituindo na restrição:então .
Pontos obtidos:e .
Caso
:
- Primeira eq.:
implica . - Segunda eq.:
é satisfeita para qualquer . - Terceira eq.:
implica .
Restrição:então , ou seja .
Pontos obtidos:e .
Caso
:
- Primeira eq.:
implica . - Segunda eq.:
implica . - Terceira eq.:
é satisfeita para qualquer .
Restrição:leva a , impossível em reais. Portanto, não há soluções reais para .
Não há outras
que permitam simultaneamente variáveis não nulas além dos analisados; portanto os candidatos estacionários são apenas os quatro pontos acima.
Passo 5
Calculemos os valores de
nesses pontos (isso ajuda a classificar).
Para
:
Para
:
Portanto os valores críticos encontrados são
e
.
Passo 6
Classificação dos pontos:
- Sobre existência de máximo global: a superfície
é não compacta (é uma hipérbole de uma folha dupla no sentido tridimensional), e é fácil ver que pode ficar arbitrariamente grande sobre essa superfície. Exemplo: tomar , com e escolher satisfaz a restrição; então
Logo não existe máximo global.
-
Sobre mínimo global: entre os pontos críticos, o menor valor de
é obtido em . Como tende a quando nos afastamos, e os pontos críticos são finitos, estes pontos com são mínimos globais (e portanto mínimos locais também). -
Os pontos
dão e não são mínimos. Para ver que não são máximos tampouco locais, podemos mostrar que existem direções na superfície que diminuem e outras que aumentam a partir desses pontos (comportamento de sela). Por exemplo, em faça uma pequena variação com e ajuste por de forma a manter a restrição; para pequeno podemos escolher e então
mostrando que
decresce em certas direções; por outro lado escolhendo variação com
obtemos
. Isso caracteriza comportamento de sela (ponto crítico, mas não extremo).
Passo 7
Resumo didático do porquê do método e dos resultados (curtinho): usamos multiplicadores de Lagrange porque procuramos extremos sujeitos a uma restrição suave; isso fornece um sistema algébrico simples que levou a quatro pontos candidatos, dos quais dois são viáveis mínimos globais e dois são pontos de sela. Não há máximo global porque a superfície é não compacta e
cresce sem limite.
Resposta
Mínimos globais:
e
com valor mínimo
.
Máximo global: não existe ( é arbitrariamente grande na superfície).
Pontos estacionários não-extremos (sela): e
com
.
Máximo global: não existe (
Pontos estacionários não-extremos (sela):