Determine, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local das funções dadas por:
f(x, y)=4 x^{2}-5 y^{2}+2 x y+4 x-8 y+10.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local da função
f(x,y)=4x^{2}-5y^{2}+2xy+4x-8y+10.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função f é um polinômio em duas variáveis x e y.
  • Precisamos encontrar pontos onde f tenha máximo local ou mínimo local (se existirem).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos críticos (pontos candidatos a extremos). Conceito/receita que vamos usar aqui (explicação didática):
  • A “gradient” (ou gradiente) de f é o vetor das derivadas parciais. Chamamos gradiente de \nabla f.
  • Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é o vetor nulo, isto é, onde todas as derivadas parciais igualam zero.
  • Para derivadas parciais: quando derivamos em relação a x, tratamos y como constante; quando derivamos em relação a y, tratamos x como constante.
Agora calculamos as derivadas parciais de f.
Derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x+2y+4.
Explicação rápida: \frac{d}{dx}(4x^{2})=8x, \frac{d}{dx}(2xy)=2y, \frac{d}{dx}(4x)=4, os outros termos não dependem de x.
Derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=-10y+2x-8.
Explicação rápida: \frac{d}{dy}(-5y^{2})=-10y, \frac{d}{dy}(2xy)=2x, \frac{d}{dy}(-8y)=-8.

Passo 3

Impondo que o gradiente seja zero obtemos o sistema de equações lineares:
\begin{cases} 8x+2y+4=0,\\[4pt] 2x-10y-8=0. \end{cases}
Vamos resolver passo a passo.
Divido a primeira equação por 2 para simplificar:
4x+y=-2.
Isolo y:
y=-2-4x.
Substituo y na segunda equação:
2x-10(-2-4x)-8=0.
Desenvolvo os parênteses:
2x+20+40x-8=0.
Agrupo termos semelhantes:
42x+12=0.
Logo
x=-\frac{12}{42}=-\frac{2}{7}.
Agora uso y=-2-4x:
y=-2-4\left(-\frac{2}{7}\right)=-2+\frac{8}{7}=-\frac{6}{7}.
Portanto o único ponto crítico é
\left(x,y\right)=\left(-\frac{2}{7},-\frac{6}{7}\right).]

Passo 4

Agora precisamos classificar esse ponto crítico: máximo local, mínimo local ou ponto de sela (saddle). Usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Definição/receita (didática):
  • A matriz Hessiana H tem as segundas derivadas parciais:
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • O discriminante (determinante) D é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.
  • Regras de classificação no ponto crítico:
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela (nenhum extremo local).
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculamos as segundas derivadas da nossa função.
Já tínhamos \frac{\partial f}{\partial x}=8x+2y+4 e \frac{\partial f}{\partial y}=-10y+2x-8. Então:
f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=8,
f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-10,
f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2.
Observação: f_{xy}=f_{yx}=2 (como esperado para funções suficientemente suaves).]

Passo 5

Calculo do discriminante D:
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=8\cdot(-10)-2^{2}=-80-4=-84.
Como D=-84<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela. Conclusão: não há nem máximo local nem mínimo local nesse ponto (é um ponto onde a função sobe em algumas direções e desce em outras).

Resposta

Não existem pontos de máximo local.
Não existem pontos de mínimo local.

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