Determine, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local das funções dadas por:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, caso existam, os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função
é um polinômio em duas variáveis e . - Precisamos encontrar pontos onde
tenha máximo local ou mínimo local (se existirem).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos críticos (pontos candidatos a extremos). Conceito/receita que vamos usar aqui (explicação didática):
- A “gradient” (ou gradiente) de
é o vetor das derivadas parciais. Chamamos gradiente de . - Pontos críticos ocorrem onde o gradiente é o vetor nulo, isto é, onde todas as derivadas parciais igualam zero.
- Para derivadas parciais: quando derivamos em relação a
, tratamos como constante; quando derivamos em relação a , tratamos como constante.
Agora calculamos as derivadas parciais de
.
Derivada parcial de
em relação a
:
Explicação rápida:
,
,
, os outros termos não dependem de
.
Derivada parcial de
em relação a
:
Explicação rápida:
,
,
.
Passo 3
Impondo que o gradiente seja zero obtemos o sistema de equações lineares:
Vamos resolver passo a passo.
Divido a primeira equação por
para simplificar:
Isolo
:
Substituo
na segunda equação:
Desenvolvo os parênteses:
Agrupo termos semelhantes:
Logo
Agora uso
:
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Agora precisamos classificar esse ponto crítico: máximo local, mínimo local ou ponto de sela (saddle). Usamos a matriz Hessiana e o teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis.
Definição/receita (didática):
- A matriz Hessiana
tem as segundas derivadas parciais:
- O discriminante (determinante)
é
- Regras de classificação no ponto crítico:
- Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela (nenhum extremo local). - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Calculamos as segundas derivadas da nossa função.
Já tínhamos
e
. Então:
Observação:
(como esperado para funções suficientemente suaves).]
Passo 5
Calculo do discriminante
:
Como
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um ponto de sela. Conclusão: não há nem máximo local nem mínimo local nesse ponto (é um ponto onde a função sobe em algumas direções e desce em outras).
Resposta
Não existem pontos de máximo local.
Não existem pontos de mínimo local.
Não existem pontos de mínimo local.