1. Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies x=0, \quad y=0, \quad z=0 e 6 x+3 y+2 z=6.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies x=0, y=0, z=0 e pela superfície plana 6x+3y+2z=6.\n
Informações dadas:
  • As três superfícies x=0, y=0 e z=0 são os planos coordenados (limites no primeiro octante).
  • A superfície 6x+3y+2z=6 é um plano que intersecta os eixos coordenados em pontos que precisamos identificar.
  • A pergunta é: qual é o volume do sólido limitado por essas quatro superfícies?

Passo 2

Vamos encontrar os pontos onde o plano intersecta cada eixo (esses são os interceptos, úteis para visualizar o sólido).
  • Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0 na equação do plano e resolver para x.
6x+3\cdot 0+2\cdot 0=6 \implies 6x=6 \implies x=1.
Logo o intercepto em x é (1,0,0).
  • Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0.
6\cdot 0+3y+2\cdot 0=6 \implies 3y=6 \implies y=2.
Logo o intercepto em y é (0,2,0).
  • Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0.
6\cdot 0+3\cdot 0+2z=6 \implies 2z=6 \implies z=3.
Logo o intercepto em z é (0,0,3).
Com esses três interceptos o sólido é um tetraedro no primeiro octante com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).

Passo 3

Uma fórmula útil (e simples) para o volume V de um tetraedro que tem interceptos a, b, c nos eixos x,y,z (ou seja, vértices em (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) e na origem) é
V=\frac{1}{6}abc.
Vou explicar por que essa fórmula vale, passo a passo, de forma bem didática:
  • Considere a mudança de variáveis que escala cada coordenada por seus interceptos: defina
u=\frac{x}{a},\quad v=\frac{y}{b},\quad w=\frac{z}{c}.
Isso transforma o tetraedro em um tetraedro padrão (o “simplex” padrão) dado por u\ge0,\\ v\ge0,\\ w\ge0,\\ u+v+w\le 1.
  • A diferencial de volume transforma como dV = \big|\det J\big|\,du\,dv\,dw, onde J é a matriz jacobiana da transformação. Aqui a transformação é diagonal com determinante abc. Então
dV = abc\,du\,dv\,dw.
  • O volume do tetraedro original é então
V = \int_{\text{simplex}} dV = abc \int_{\substack{u\ge0,v\ge0,w\ge0\u+v+w\le1}} du\,dv\,dw.
O integral restante é o volume do simplex padrão em \mathbb{R}^3. Podemos calculá-lo diretamente por integração iterada:
\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1-u}\int_{w=0}^{1-u-v} dw\,dv\,du.
  • Avaliando: a integral em w 1-u-v. Depois
\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1-u} (1-u-v)\,dv\,du.
Integrando em v:
\int_{u=0}^{1} \left[(1-u)v - \tfrac{1}{2}v^2\right]_{0}^{1-u}\,du = \int_{0}^{1} \left[(1-u)(1-u) - \tfrac{1}{2}(1-u)^2\right] du = \int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}(1-u)^2 du.
Finalmente,
\int_{0}^{1} \tfrac{1}{2}(1-u)^2 du = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{6}.
Portanto o volume do simplex padrão é \tfrac{1}{6}, e assim V=abc\cdot \tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{6}abc.
Esse resultado também pode ser lembrado geometricamente: o tetraedro corresponde a um sexto do paralelepípedo com arestas a,b,c.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: os interceptos encontrados no Passo 2 são a=1, b=2 e c=3. Então
V=\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 2\cdot 3 = \frac{6}{6}=1.

Passo 5

Para reforçar (e para você saber fazer na prova se quiser integrar), faço o método por integral tripla como verificação.
  • Da equação do plano isolamos z:
2z = 6-6x-3y \implies z = 3-3x-\tfrac{3}{2}y.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até o valor onde z=0: 6x+3y=6 \implies y=2-2x. E x varia de 0 a 1.
  • Então o volume é
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\int_{z=0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} dz\,dy\,dx.
  • Integrando em z:
\int_{0}^{3-3x-\tfrac{3}{2}y} dz = 3-3x-\tfrac{3}{2}y.
  • Integrando em y:
\int_{0}^{2-2x}\left(3-3x-\tfrac{3}{2}y\right)dy = \left[ (3-3x)y - \tfrac{3}{4}y^2 \right]_{0}^{2-2x}.
Como 3-3x=3(1-x) e 2-2x=2(1-x), isso dá
(3(1-x))\cdot 2(1-x) - \tfrac{3}{4}\cdot \big(2(1-x)\big)^2 = 6(1-x)^2 - 3(1-x)^2 = 3(1-x)^2.
  • Finalmente integrar em x:
\int_{0}^{1} 3(1-x)^2 dx = 3\cdot \frac{1}{3} = 1.
Confirma V=1.

Resposta

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