Com esses três interceptos o sólido é um tetraedro no primeiro octante com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
Passo 3
Uma fórmula útil (e simples) para o volume V de um tetraedro que tem interceptos a, b, c nos eixos x,y,z (ou seja, vértices em (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) e na origem) é
V=\frac{1}{6}abc.
Vou explicar por que essa fórmula vale, passo a passo, de forma bem didática:
Considere a mudança de variáveis que escala cada coordenada por seus interceptos: defina
Isso transforma o tetraedro em um tetraedro padrão (o “simplex” padrão) dado por u\ge0,\\ v\ge0,\\ w\ge0,\\ u+v+w\le 1.
A diferencial de volume transforma como dV = \big|\det J\big|\,du\,dv\,dw, onde J é a matriz jacobiana da transformação. Aqui a transformação é diagonal com determinante abc. Então
dV = abc\,du\,dv\,dw.
O volume do tetraedro original é então
V = \int_{\text{simplex}} dV = abc \int_{\substack{u\ge0,v\ge0,w\ge0\u+v+w\le1}} du\,dv\,dw.
O integral restante é o volume do simplex padrão em \mathbb{R}^3. Podemos calculá-lo diretamente por integração iterada: