Calcule as integrais.
\iint_{R} x^{3} y^{2} d x d y, R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{3} y^{2}\,dx\,dy,
sobre a região
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ -x\le y\le x\}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O integrando é x^{3}y^{2}.
  • As variáveis têm os seguintes limites: x varia de 0 a 2 e, para cada x, y varia de -x a x.
  • A região é simples para integrar na ordem dy\,dx (os limites de y dependem de x), portanto usaremos a integral iterada
\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=-x}^{x} x^{3}y^{2}\,dy\right)dx.

Passo 2

Justificativa e ideia do método (passo-a-passo didático):
  • A função x^{3}y^{2} é contínua em R (é polinomial), logo podemos aplicar a integração iterada (Teorema de Fubini) sem problema.
  • Na integral interna, a integração é em relação a y, então x se comporta como constante. Isso é uma ideia-chave: quando integramos em relação a uma variável, todas as outras são tratadas como constantes.
  • Vamos, então, calcular primeiro
\int_{y=-x}^{x} x^{3}y^{2}\,dy,
tratando x^{3} como constante, e depois integrar o resultado em x de 0 a 2.

Passo 3

Calcular a integral interna (detalhando cada passo):
  • Fatore x^{3} para fora da integral em y, pois é constante em relação a y:
\int_{y=-x}^{x} x^{3}y^{2}\,dy = x^{3}\int_{y=-x}^{x} y^{2}\,dy.
  • Integre y^{2}: uma primitiva é \dfrac{y^{3}}{3}. Portanto
x^{3}\int_{-x}^{x} y^{2}\,dy = x^{3}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=-x}^{y=x}.
  • Avaliando nos extremos:
\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-x}^{x} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{(-x)^{3}}{3}.
Como (-x)^{3} = -x^{3}, isto fica
\frac{x^{3}}{3} - \frac{-x^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}.
  • Multiplicando por x^{3}:
x^{3}\cdot \frac{2x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{6}.
Logo a integral interna resulta em \dfrac{2}{3}x^{6}.
(Dica rápida: isso também podia ser visto pela simetria em y: y^{2} é par, então \int_{-x}^{x} y^{2}dy = 2\int_{0}^{x} y^{2}dy = 2\cdot \dfrac{x^{3}}{3}.)

Passo 4

Calcular a integral externa:
  • Agora integramos em x de 0 a 2 a função obtida:
\int_{0}^{2} \frac{2}{3}x^{6}\,dx.
  • Fatore a constante \dfrac{2}{3}:
\frac{2}{3}\int_{0}^{2} x^{6}\,dx.
  • Uma primitiva de x^{6} é \dfrac{x^{7}}{7}. Assim
\frac{2}{3}\left[\frac{x^{7}}{7}\right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{2^{7}}{7} - \frac{2}{3}\cdot 0.
  • Calcule 2^{7}=128, então
\frac{2}{3}\cdot\frac{128}{7} = \frac{256}{21}.

Resposta

\dfrac{256}{21}

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