Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
sobre a região
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O integrando é
. - As variáveis têm os seguintes limites:
varia de a e, para cada , varia de a . - A região é simples para integrar na ordem
(os limites de dependem de ), portanto usaremos a integral iterada
Passo 2
Justificativa e ideia do método (passo-a-passo didático):
- A função
é contínua em (é polinomial), logo podemos aplicar a integração iterada (Teorema de Fubini) sem problema. - Na integral interna, a integração é em relação a
, então se comporta como constante. Isso é uma ideia-chave: quando integramos em relação a uma variável, todas as outras são tratadas como constantes. - Vamos, então, calcular primeiro
tratando
como constante, e depois integrar o resultado em
de
a
.
Passo 3
Calcular a integral interna (detalhando cada passo):
- Fatore
para fora da integral em , pois é constante em relação a :
- Integre
: uma primitiva é . Portanto
- Avaliando nos extremos:
Como
, isto fica
- Multiplicando por
:
Logo a integral interna resulta em
.
(Dica rápida: isso também podia ser visto pela simetria em
:
é par, então
.)
Passo 4
Calcular a integral externa:
- Agora integramos em
de a a função obtida:
- Fatore a constante
:
- Uma primitiva de
é . Assim
- Calcule
, então