Calcule o volume do conjunto dado.
S=\left\{(x, y, z) ; x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\right. e \left.0 \leq z \leq 1-x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
S=\{(x,y,z)\;|\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1,\; 0\le z\le 1-x^{2}\}.
Informações dadas:
  • As restrições em x e y definem uma região plana triangular no plano xy: x\ge0, y\ge0 e x+y\le1.
  • Para cada ponto (x,y) dessa região triangular, a coordenada z varia de 0 até 1-x^{2}.
    O que é pedido:
  • Calcular o volume do conjunto S.

Passo 2

Ideia geométrica e escolha do método (explicada passo a passo).
O conjunto S é justamente a região situada sob a superfície z=1-x^{2} e acima do plano z=0, limitada horizontalmente pelo triângulo no plano xy. Quando temos uma “altura” z dada por uma função z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, o volume dessa região é dado pela integral dupla
\text{Volume}=\iint_{D} f(x,y)\,dA,
onde dA representa a área elementar no plano xy. Aqui a “altura” sobre cada ponto (x,y) é f(x,y)=1-x^{2}. Vou aplicar essa fórmula integrando sobre o triângulo D=\{(x,y):x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}.

Passo 3

Descrever a região base D no plano xy e colocar limites de integração.
A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Para configurar uma integração iterada, uma escolha natural é integrar primeiro em y (para valores de y entre 0 e 1-x) e depois em x (de 0 a 1). Assim os limites são:
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1-x.

Passo 4

Escrever a integral dupla que dá o volume e explicar cada termo.
A função altura é f(x,y)=1-x^{2}. A fórmula do volume é
\text{Volume}=\iint_{D} (1-x^{2})\,dA.
Em coordenadas retangulares com a ordem dy\,dx isso vira a integral iterada
\text{Volume}=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} (1-x^{2})\,dy\right)dx.
Aqui:
  • x e y são as variáveis do plano base;
  • dA foi trocado por dy\,dx;
  • a integral interna soma as contribuições em y para cada x, e a externa soma sobre x.

Passo 5

Calcular a integral interna (integração em y).
A integranda (1-x^{2}) não depende de y, então a integral interna é simples:
\int_{y=0}^{1-x} (1-x^{2})\,dy = (1-x^{2})\cdot\Big[y\Big]_{0}^{1-x} = (1-x^{2})(1-x).
Explicação: ao integrar uma constante em relação a y, multiplica-se essa constante pelo comprimento do intervalo em y, que é 1-x-0=1-x.

Passo 6

Simplificar o integrando em x antes de integrar.
Temos que integrar em x
\int_{0}^{1} (1-x^{2})(1-x)\,dx.
Expando o produto para facilitar a integração termo a termo:
(1-x^{2})(1-x)=1 - x - x^{2} + x^{3}.
Portanto
\text{Volume}=\int_{0}^{1} \big(1 - x - x^{2} + x^{3}\big)\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo e avaliar os limites.
Integro cada termo:
\int_{0}^{1} 1\,dx = \Big[x\Big]_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1} x\,dx = \Big[\tfrac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2},
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \Big[\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3},
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \Big[\tfrac{x^{4}}{4}\Big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{4}.
Somando com os sinais correspondentes:
\text{Volume}=1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4}.

Passo 8

Calcular a soma das frações sem calculadora (passo a passo).
Coloco em denominador comum 12:
1=\tfrac{12}{12},\quad \tfrac{1}{2}=\tfrac{6}{12},\quad \tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{12},\quad \tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{12}.
Agora:
\tfrac{12}{12}-\tfrac{6}{12}-\tfrac{4}{12}+\tfrac{3}{12}=\tfrac{12-6-4+3}{12}=\tfrac{5}{12}.
Logo o volume é \tfrac{5}{12}.

Passo 9

Breta rápida de verificação (opcional e curta).
Se alguém preferir trocar a ordem de integração (integrar em x primeiro): para 0\le y\le1 tem 0\le x\le1-y e obtém-se a mesma integral final, portanto o resultado é consistente.

Resposta

\dfrac{5}{12}

Exercícios relacionados