Calcule o volume do conjunto dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do conjunto
Informações dadas:
- As restrições em
e definem uma região plana triangular no plano : , e . - Para cada ponto
dessa região triangular, a coordenada varia de até .
O que é pedido: - Calcular o volume do conjunto
.
Passo 2
Ideia geométrica e escolha do método (explicada passo a passo).
O conjunto é justamente a região situada sob a superfície
e acima do plano
, limitada horizontalmente pelo triângulo no plano
. Quando temos uma “altura”
dada por uma função
sobre uma região
no plano
, o volume dessa região é dado pela integral dupla
O conjunto
onde
representa a área elementar no plano
. Aqui a “altura” sobre cada ponto
é
. Vou aplicar essa fórmula integrando sobre o triângulo
.
Passo 3
Descrever a região base
no plano
e colocar limites de integração.
A região é o triângulo com vértices
,
e
. Para configurar uma integração iterada, uma escolha natural é integrar primeiro em
(para valores de
entre
e
) e depois em
(de
a
). Assim os limites são:
A região
Passo 4
Escrever a integral dupla que dá o volume e explicar cada termo.
A função altura é . A fórmula do volume é
A função altura é
Em coordenadas retangulares com a ordem
isso vira a integral iterada
Aqui:
-
e são as variáveis do plano base; -
foi trocado por ; - a integral interna soma as contribuições em
para cada , e a externa soma sobre .
Passo 5
Calcular a integral interna (integração em
).
A integranda não depende de
, então a integral interna é simples:
A integranda
Explicação: ao integrar uma constante em relação a
, multiplica-se essa constante pelo comprimento do intervalo em
, que é
.
Passo 6
Simplificar o integrando em
antes de integrar.
Temos que integrar em
Temos que integrar em
Expando o produto para facilitar a integração termo a termo:
Portanto
Passo 7
Integrar termo a termo e avaliar os limites.
Integro cada termo:
Integro cada termo:
Somando com os sinais correspondentes:
Passo 8
Calcular a soma das frações sem calculadora (passo a passo).
Coloco em denominador comum :
Coloco em denominador comum
Agora:
Logo o volume é
.
Passo 9
Breta rápida de verificação (opcional e curta).
Se alguém preferir trocar a ordem de integração (integrar em primeiro): para
tem
e obtém-se a mesma integral final, portanto o resultado é consistente.
Se alguém preferir trocar a ordem de integração (integrar em