Calcule as integrais:
Ik=integral x cosec^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral x,csc^2(x),dx
O conteúdo principal aqui é o método de integração por partes, pois temos o produto de x por csc^2(x).

Passo 2

Escolhemos as partes para o método de integração por partes:
u = x e dv = csc^2(x),dx
Então
du = dx e v = integral csc^2(x),dx = -cot(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral x,csc^2(x),dx = xl(-cot(x)r) - integral l(-cot(x)r),dx = -,xcot(x) + integral cot(x),dx

Passo 4

Agora calculamos
integral cot(x),dx = integral cos(x)sin(x),dx
Fazendo a substituição w=sin(x), dw=cos(x),dx, obtemos
integral dww = lnl|wr| + C ;Longrightarrow; integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r| + C

Passo 5

Reunindo os termos, a solução geral da integral é
integral x,csc^2(x),dx = -,xcot(x) + lnl|sin(x)r| + C

Resposta

-,xcot(x) + lnl|sin(x)r| + C

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