Calcule as seguintes integrais:
38) integral tg(2 x^2+3) cdot sec ^2(2 x^2+3) cdot 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
integral tanl(2x^2+3r),sec^2l(2x^2+3r),4x,dx
Aqui vamos usar a técnica de substituição, observando que a derivada de tanl(2x^2+3r) gera exatamente o fator sec^2l(2x^2+3r),4x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = tanl(2x^2+3r)
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = sec^2l(2x^2+3r),l(4xr),dx
Logo, o produto sec^2l(2x^2+3r),4x,dx é exatamente du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, obtemos
integral tanl(2x^2+3r),sec^2l(2x^2+3r),4x,dx = integral u,du

Passo 4

A integral de u em relação a u é
integral u,du = u^22 + C

Resposta

Substituindo de volta u = tanl(2x^2+3r), temos
12,tan^2l(2x^2+3r) + C

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