Calcule as integrais imediatas indefinidas:
\int\left(-2+v^{-2}\right)^{2} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(-2+v^{-2}\right)^{2}\,dv.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é \left(-2+v^{-2}\right)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto devemos incluir a constante de integração C.
  • Não há outras restrições sobre v dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da integral expandindo o quadrado. Usamos a identidade (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 com a=-2 e b=v^{-2}. Assim,
\left(-2+v^{-2}\right)^{2} = (-2)^2 + 2\cdot(-2)\cdot v^{-2} + (v^{-2})^2.
Calculando termo a termo:
(-2)^2 = 4,
2\cdot(-2)\cdot v^{-2} = -4v^{-2},
(v^{-2})^2 = v^{-4}.
Portanto a integranda fica
\left(-2+v^{-2}\right)^{2} = 4 - 4v^{-2} + v^{-4}.

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo. A regra básica que vamos usar é a regra da potência para integrais: se n\neq -1,
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui v é a variável de integração e n é o expoente. Essa fórmula é válida para potências com expoente qualquer exceto -1, caso em que a integral é logarítmica.

Passo 4

Integramos cada termo da soma \int\left(4 - 4v^{-2} + v^{-4}\right)\,dv separadamente.
  1. Para o primeiro termo:
\int 4\,dv = 4v.
  1. Para o segundo termo, usamos n=-2. Aplicando a regra da potência:
\int -4v^{-2}\,dv = -4\int v^{-2}\,dv = -4\cdot\frac{v^{-1}}{-1} = -4\cdot(-v^{-1}) = 4v^{-1}.
Note que \int v^{-2}\,dv = \frac{v^{-1}}{-1} = -v^{-1}.
  1. Para o terceiro termo, com n=-4:
\int v^{-4}\,dv = \frac{v^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3}v^{-3}.

Passo 5

Somando os resultados parciais e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
4v + 4v^{-1} - \frac{1}{3}v^{-3} + C.
Podemos também reescrever as potências negativas como frações para ficar mais familiar:
4v + \frac{4}{v} - \frac{1}{3v^{3}} + C.
Uma checagem rápida é derivar essa expressão; ao derivar obtemos 4 - 4v^{-2} + v^{-4}, que é a integranda original, então está correto.

Resposta

4v + 4v^{-1} - \frac{1}{3}v^{-3} + C

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