Calcule as integrais imediatas indefinidas:
\int \frac{2 \cos ^{2} t+\operatorname{tg} t}{\cos t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2\cos^{2}t+\tan t}{\cos t}\,dt.
Informações relevantes: a integranda é a soma de duas parcelas dentro do numerador, dividida por \cos t. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda) e apresentar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por \cos t. Isso é legítimo desde que estejamos apenas manipulando simbolicamente a expressão da integranda:
\frac{2\cos^{2}t+\tan t}{\cos t} = \frac{2\cos^{2}t}{\cos t} + \frac{\tan t}{\cos t} = 2\cos t + \frac{\tan t}{\cos t}.
Agora lembramos que \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}. Substituindo:
\frac{\tan t}{\cos t}=\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\frac{1}{\cos t}=\frac{\sin t}{\cos^{2}t}.
Portanto a integranda fica
2\cos t+\frac{\sin t}{\cos^{2}t}.

Passo 3

Agora dividimos a integral em duas integrais mais simples:
\int\left(2\cos t+\frac{\sin t}{\cos^{2}t}\right)dt =\int 2\cos t\,dt+\int \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\,dt.
Vou resolver cada uma separadamente. A primeira é direta: sabemos que a derivada de \sin t é \cos t. Logo
\int 2\cos t\,dt = 2\sin t + C_1,
onde C_1 é uma constante (que juntaremos com a outra no final).

Passo 4

A segunda integral é
\int \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\,dt.
Aqui uma técnica prática é a substituição u=\cos t. Vou explicar a técnica: escolhemos u de modo que a derivada de u apareça multiplicando no integrando, permitindo transformar a integral em termos de u. Com u=\cos t temos
du = -\sin t\,dt \quad\text{ou}\quad \sin t\,dt = -du.
Substituindo na integral:
\int \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\,dt = \int \frac{1}{u^{2}}(\sin t\,dt) = \int \frac{1}{u^{2}}(-du) = -\int u^{-2}\,du.

Passo 5

Aplicamos a regra da potência para integrar u^{n} com n\neq -1:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}.
Logo
-\int u^{-2}\,du = -(-u^{-1}) = u^{-1}.
Voltando para a variável t (lembre que u=\cos t) obtemos
\int \frac{\sin t}{\cos^{2}t}\,dt = \frac{1}{\cos t} = \operatorname{sec} t.

Passo 6

Somando as duas partes e juntando constantes de integração:
\int \frac{2\cos^{2}t+\tan t}{\cos t}\,dt = 2\sin t + \operatorname{sec} t + C,
onde C é a constante de integração final.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando 2\sin t+\operatorname{sec} t obtemos 2\cos t+\operatorname{sec} t\tan t. Como \operatorname{sec} t\tan t=\dfrac{1}{\cos t}\cdot\dfrac{\sin t}{\cos t}=\dfrac{\sin t}{\cos^{2}t}, a derivada volta a ser 2\cos t+\dfrac{\sin t}{\cos^{2}t}, que é a integranda original — portanto está correto.

Resposta

2\sin t+\operatorname{sec} t+C

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