Calcule as integrais imediatas indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes: a integranda é a soma de duas parcelas dentro do numerador, dividida por
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda) e apresentar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por
. Isso é legítimo desde que estejamos apenas manipulando simbolicamente a expressão da integranda:
Agora lembramos que
. Substituindo:
Portanto a integranda fica
Passo 3
Agora dividimos a integral em duas integrais mais simples:
Vou resolver cada uma separadamente. A primeira é direta: sabemos que a derivada de
é
. Logo
onde
é uma constante (que juntaremos com a outra no final).
Passo 4
A segunda integral é
Aqui uma técnica prática é a substituição
. Vou explicar a técnica: escolhemos
de modo que a derivada de
apareça multiplicando no integrando, permitindo transformar a integral em termos de
. Com
temos
Substituindo na integral:
Passo 5
Aplicamos a regra da potência para integrar
com
:
Aqui
, então
Logo
Voltando para a variável
(lembre que
) obtemos
Passo 6
Somando as duas partes e juntando constantes de integração:
onde
é a constante de integração final.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando
obtemos
. Como
, a derivada volta a ser
, que é a integranda original — portanto está correto.