Calcule as integrais imediatas indefinidas:
\int u^{3}\left(-2 u+u^{-5}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int u^{3}\left(-2 u+u^{-5}\right)\,du.\n
Informações dadas:\n
  • A função integranda é \,u^{3}\left(-2 u+u^{-5}\right).\n
  • Quer-se uma primitiva (ou antiderivada) geral, ou seja, o resultado deve conter a constante de integração C.\n
    Não há outras informações ou restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão dentro da integral multiplicando u^{3} pelos termos entre parênteses.\n
Lembrete de regra de potências usada aqui: ao multiplicar potências de mesma base fazemos
u^{a}\cdot u^{b}=u^{a+b}.
Aplicando isso termo a termo:
u^{3}\cdot(-2u)=-2\,u^{3+1}=-2\,u^{4},
u^{3}\cdot u^{-5}=u^{3+(-5)}=u^{-2}.

Passo 3

Logo, a integral fica
\int \big(-2u^{4}+u^{-2}\big)\,du.
Também usamos aqui a propriedade linear da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Formalmente,
\int (f+g)\,du=\int f\,du+\int g\,du,\qquad \int c\cdot f\,du=c\int f\,du.

Passo 4

Agora relembrar a regra principal que vamos aplicar (regra do poder para integrais): para um expoente n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: ao derivar \frac{u^{n+1}}{n+1} obtemos \frac{n+1}{n+1}u^{n}=u^{n}, então essa função é uma primitiva de u^{n}. A condição n\neq -1 evita divisão por zero (caso n=-1 a primitiva é \ln|u|).

Passo 5

Aplicar a regra ao primeiro termo \int -2u^{4}\,du.\n
Tiramos a constante -2 para fora:
\int -2u^{4}\,du=-2\int u^{4}\,du.
Usando a regra do poder com n=4:
\int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}.
Portanto uma primitiva do primeiro termo é
-2\cdot\frac{u^{5}}{5}=-\frac{2}{5}u^{5}.
Podemos anotar esta primitiva com uma constante C_{1}, se quisermos: -\dfrac{2}{5}u^{5}+C_{1}.

Passo 6

Agora o segundo termo \int u^{-2}\,du.\n
Aqui n=-2, que é diferente de -1, então aplicamos a mesma regra:
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-2+1}}{-2+1}=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Podemos anotar esta primitiva com outra constante C_{2}: -u^{-1}+C_{2}.

Passo 7

Somando as primitivas dos dois termos e unificando as constantes de integração ( C=C_{1}+C_{2}), obtemos a primitiva geral da integral original. Não esqueça que u^{-1}=\dfrac{1}{u}, então podemos escrever a primitiva também usando fração usual.

Resposta

-\dfrac{2}{5}u^{5}-\dfrac{1}{u}+C

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