Calcule as integrais imediatas indefinidas:
\int\left(\frac{t^{5}}{2}-\frac{4}{t^{-3}}+3 t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{t^{5}}{2}-\frac{4}{t^{-3}}+3 t\right)\,dt.
Informações dadas:
\text{integrando}=\frac{t^{5}}{2}-\frac{4}{t^{-3}}+3 t.
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja o integrando, e escrever essa primitiva mais a constante de integração.

Passo 2

Primeiro simplificamos à vista o termo que tem divisão por t^{-3}. Note que
\frac{1}{t^{-3}}=t^{3},
portanto
\frac{4}{t^{-3}}=4t^{3}.
Logo o integrando fica
\frac{t^{5}}{2}-4t^{3}+3t.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int\left(\frac{t^{5}}{2}-4t^{3}+3t\right)\,dt = \int\frac{t^{5}}{2}\,dt-\int 4t^{3}\,dt+\int 3t\,dt.
E também
\int a\cdot f(t)\,dt = a\int f(t)\,dt
para qualquer constante a.

Passo 4

Vamos usar a regra de potência para integrais: para um número real n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde t é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração. Exemplo rápido: \int t^{2}\,dt=\dfrac{t^{3}}{3}+C.

Passo 5

Integramos o primeiro termo. Aplicando a linearidade e a regra de potência:
\int \frac{t^{5}}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int t^{5}\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{6}}{6}=\frac{t^{6}}{12}.

Passo 6

Integramos o segundo termo:
\int 4t^{3}\,dt=4\int t^{3}\,dt=4\cdot\frac{t^{4}}{4}=t^{4}.
Como no integrando original esse termo aparece com sinal negativo, a primitiva correspondente é -t^{4}.

Passo 7

Integramos o terceiro termo:
\int 3t\,dt=3\int t\,dt=3\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{3t^{2}}{2}.

Passo 8

Cada termo já tem sua primitiva: \dfrac{t^{6}}{12}, -t^{4} e \dfrac{3t^{2}}{2}. Podemos verificar rapidamente: derivando cada uma obtemos respectivamente \dfrac{t^{5}}{2}, -4t^{3} e 3t, que são exatamente os termos do integrando. Somando as primitivas e adicionando a constante de integração obtemos a primitiva geral da função dada.

Resposta

\frac{t^{6}}{12}-t^{4}+\frac{3t^{2}}{2}+C

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