Calcule as integrais imediatas indefinidas:
\int\left(7 x^{(5 / 2)}+4\right) d x

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
\int\left(7 x^{(5 / 2)}+4\right)\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é a soma de duas partes: \,7 x^{(5/2)} e \,4. Não há outras condições explícitas (vamos assumir x>0 para que as potências fracionárias fiquem no domínio real sem ambiguidade).

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (a ferramenta que usamos para separar a conta): para funções f e g e constante a,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot\int f(x)\,dx.
Ou seja, podemos integrar cada termo separadamente e puxar constantes para fora da integral.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso integrando, separamos em duas integrais:
\int\left(7 x^{(5 / 2)}+4\right)\,dx = \int 7 x^{(5 / 2)}\,dx + \int 4\,dx.

Passo 4

Regra da potência (fórmula principal que vamos usar): para qualquer expoente n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente de x e x é a variável de integração.

Passo 5

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \int 7 x^{(5/2)}\,dx:
  • o expoente é n=\tfrac{5}{2},
  • então n+1=\tfrac{5}{2}+1=\tfrac{7}{2}.
    Logo,
\int 7 x^{(5/2)}\,dx = 7\cdot\frac{x^{7/2}}{7/2}.
Agora simplificamos a constante:
7\cdot\frac{1}{7/2} = 7\cdot\frac{2}{7} = 2.
Portanto o primeiro termo vira 2x^{7/2}.

Passo 6

Calculando a segunda integral \int 4\,dx: a integral de uma constante a é a x. Então
\int 4\,dx = 4x.

Passo 7

Juntando os resultados e adicionando a constante de integração C, a primitiva procurada é
2x^{7/2} + 4x + C.
Observação extra (útil na prova): se preferir escrever sem potências fracionárias, lembre que x^{7/2}=x^{3}\sqrt{x}, então outra forma equivalente é 2x^{3}\sqrt{x}+4x+C.

Resposta

2x^{7/2}+4x+C

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