Calcule as integrais impróprias.
integral0^1 d xraiz1-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral0^1dxraiz1 - x^2
O conteúdo aqui é integral imprópria de função com singularidade em x=1 e podemos usar substituição trigonométrica ou reconhecer que a derivada de arcsin(x) é 1raiz1 - x^2.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite para tratar a singularidade em x=1:
integral0^1dxraiz1 - x^2 =limbto1^-integral0^bdxraiz1 - x^2

Passo 3

Aplicamos a substituição
x = sintheta, dx = costheta,dtheta, raiz1 - x^2 = costheta
Quando x=0, theta=0. Quando x=b, theta=arcsin(b). Logo
integral0^bdxraiz1 - x^2 =integral0^arcsin(b)costheta,dthetacostheta =integral0^arcsin(b)dtheta =arcsin(b)

Passo 4

Agora voltamos ao limite:
limbto1^-arcsin(b) =arcsin(1) =pi2

Resposta

integral0^1dxraiz1 - x^2 =pi2

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